1 . 已知函数（Ⅰ）求证：对于的定义域内的任意两个实数，都有；（Ⅱ）判断的奇偶性，并予以证明.

2 . 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是__________.（用数字作答）

3 . 科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定.如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则满足条件的的所有不同值的和为___________.

5 . 用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．

6 . 公元前世纪，古希腊毕达哥拉斯学派已经知道五种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．后来，柏拉图学派的泰阿泰德（Theaetetus）证明出正多面体总共只有上述五种．如图就是五种正多面体的图形．现有张分别画有上述五种多面体的不同卡片（除画有的图形不同外没有差别），若从这张不同的卡片中任取张，则没有取到画有“正四面体”卡片的概率为____________．

7 . 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列： 1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为，该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式），是用无理数表示有理数的一个范例．设n是不等式的正整数解，则n的最小值为__________．

8 . 《无字证明》就是将数学命题和简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来.请根据下图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：______.

9 . 设我们可以证明对数的运算性质如下：.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________.

10 . 为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明．甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案．公布他们的答案后，三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了”；乙说：“我答对了”；丙说：“乙答错了”．评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了．根据以上信息，面试问题答案正确的考生为_____ ．