1 . 网络直播带货作为一种新型的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.湖北某地盛产夏橙，为帮助当地农民销售夏橙，当地政府邀请了甲、乙两名网红在某天通过直播带货销售夏橙.现对某时间段100名观看直播后选择在甲、乙两名网红的直播间（以下简称甲直播间、乙直播间）购买夏橙的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买夏橙），得到如下数据：

网民类型	在直播间购买夏橙的情况		合计
	在甲直播间购买	在乙直播间购买
男网民	50	5	55
女网民	30	15	45
合计	80	20	100

(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联？
(2)网民黄蓉上午、下午均从甲、乙两个直播间中选择其中一个购买夏橙，且上午在甲直播间购买夏橙的概率为.若上午选择在甲直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为；若上午选择在乙直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为，求黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若共有50008名网民在甲、乙直播间购买夏橙，且网民选择在甲、乙哪个直播间购买夏橙互不影响，记其中在甲直播间购买夏橙的网民人数为X，求使事件“”的概率取最大值的k的值.
附：，其中.

	0.1	0.05	0.01	0.005
	2.706	3.841	6.635	7.879

2 . 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的边分别在轴和轴上，.点从点开始沿边匀速移动，点从点开始沿边匀速移动，点，点同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为秒.
   
(1)连接矩形的对角线，当为何值时，以为顶点的三角形与相似；
(2)在点，点运动过程中，线段的中点也随着运动，请求出的最小值；
(3)将沿所在直线翻折后得到，试判断点能否在对角线上，如果能，求出此时的值，如果不能，请说明理由.

3 . 如图所示，已知抛物线交轴于，交轴于点，且.
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使为锐角？若存在，求出点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.

4 . 关于三角函数有如下的公式：
①
②
③
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：

，
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：
如图，“高考”期间，学校在综合楼上从点A到点B悬挂了一条宣传条幅，小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面，小明在四楼D点测得条幅端点A的仰角为，测得条幅端点B的俯角为，小芳在三楼C点测得条幅端点A的仰角为，测得条幅端点B的俯角为若楼层高度CD为3米，请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB的长.（结果保留根号）
   

5 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得得所著的一部数学著作，在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段，与这个角的两邻边对应成比例.例如，在中（图1），为的平分线，则有.

   

(1)试证明角平分线定理；
(2)如图2，已知的重心为，内心为，若的连线.求证：.

6 . 如图，以为直径的是的外接圆，延长到点，使得，点在的延长线上，点在线段上，交于点交于点．
   
(1)证明：是的切线；
(2)若，证明：．

7 . 如图，正比例函数的图象与函数的图象相交于点．
   
(1)求点的坐标；
(2)分别以点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧且两圆弧所在圆的半径相等，两圆弧相交于点和点，作直线，交轴于点．求线段的长．

8 . 已知．
(1)求的值；
(2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值．

9 . 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于､两点，抛物线经过两点，与轴的另一交点为.
   
(1)求抛物线解析式；
(2)若点为轴下方抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积等于面积的.求此时点的坐标；
(3)如图2，以为圆心，2为半径的与轴交于､两点（在右侧），若点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使（､､三点为逆时针顺序），连接，求长度的取值范围.

10 . 某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.
(1)写出运输公司完成任务所需的时间（天）与平均每天的工作量（万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量的取值范围；
(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多0.5万立方米，工期比原计划减少了24天，那么实际平均每天运送土石方多少万立方米？