名校
1 . “弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制,此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图,在正方形
中,有4个全等的直角三角形,若图中
的两锐角分别为
,且小正方形与大正方形的面积之比为
,则
的值为________ .
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2 . 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题:在三角形所在平面内,求一点,使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明:在
中,若三个内角均小于120°,则当点
满足
时,点
到
三个顶点的距离之和最小,点
被人们称为费马点.根据以上知识,已知在
中,
,
,
,
为
内一点,则
的最小值为( )
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名校
3 . 数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords,也被称为无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图,点
为半圆
上一点,
,垂足为
,记
,则由
可以直接证明的三角函数公式是( )
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名校
4 . 帕普斯:(Pappus)古希腊数学家,3﹣4世纪人,伟大的几何学家,著有《数学汇编》.此书对数学史具有重大的意义,是对前辈学者的著作作了系统整理,并发展了前辈的某些思想,保存了很多古代珍贵的数学证明的资料.如图1,图2,利用帕普斯的几何图形直观证明思想,能简明快捷地证明一个数学公式,这个公式是( )
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2023-10-10更新
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933次组卷
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3卷引用:四川省广安市广安友谊中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学理科试题
四川省广安市广安友谊中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学理科试题(已下线)考点20 三角函数的数学文化 --2024届高考数学考点总动员【练】辽宁省沈阳市辽宁实验中学2024届高三下学期高考适应性测试(二)数学试题
名校
解题方法
5 . 无字证明(proof without words)是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,如图是某三角恒等式的无字证明,那么该图证明的三角恒等式为__________ .
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/6/14/13cf9ace-987e-45b3-9f16-a17dbcc52b23.png?resizew=435)
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2023-06-13更新
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604次组卷
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2卷引用:湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期第二次大练习数学试题
解题方法
6 . 阅读下面的两个材料:
材料一:我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”:若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜,记小斜为
,中斜为
,大斜为
,则三角形的面积为
.这个公式称之为秦九韶公式;
材料二:希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式,即已知三角形的三条边长分别为
,则它的面积为
,其中
,这个公式称之为海伦公式.
请你解答下面的两个问题:
(1)已知
的三条边为
,求这个三角形的面积
;
(2)已知
的三条边为
,求这个三角形的面积
;
(3)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明.(如果多做,则按所做的第一个证明记分).
材料一:我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”:若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜,记小斜为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/071a7e733d466949ac935b4b8ee8d183.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bc0963f71b38d6d320b415fad7421beb.png)
材料二:希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式,即已知三角形的三条边长分别为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/76f0649064a085fb74c997fb507a9b6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c667f76da3658f200fff8eadb24b8e82.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a822dd4e1d3859f55874669092697a7.png)
请你解答下面的两个问题:
(1)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c5911e85a531fe7c7558ff54562090b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf231f8f86fb922df4ca0c87f044cec3.png)
(2)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1805219ea48265e2094e968e38ed65af.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf231f8f86fb922df4ca0c87f044cec3.png)
(3)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明.(如果多做,则按所做的第一个证明记分).
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2023-02-05更新
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357次组卷
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4卷引用:河北省邢台市南和区等4地2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学试题
河北省邢台市南和区等4地2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学试题河北省名校联盟2023届高三上学期第二次月考数学试题(已下线)模块四 专题7 新情境专练(拔高)(已下线)专题1 三斜求积 巧求面积 练
7 . 刘徽是我国古代著名数学家,他对《九章算术》中的各个图形面积计算公式的正确性进行验证,树立了中国数学史上对数学命题进行逻辑证明的典范.刘徽认为圆可以看成一簇半径连续增大的同心圆叠合而成,那么这些同心圆的周长也可以叠成一个等腰三角形(如图
),该圆(周长为
,半径为
)的面积与等腰三角形的面积相等.即
.若某图形由圆心角为
,弧长为
的扇形剪去一个小扇形得到,且它们所在圆的半径差为
(如图
),运用这种积线成面的面积观,求该图形的面积![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/447a9718a502491b47072ce013c26a2f.png)
___________ (用
表示).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c88d9142df6ba8e43c1a93bd04a1362.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aa0df7f1e45f9de29e802c7f19a4f64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a24167028a8ade3ebb958d4875e66127.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
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![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/16/247f369a-5134-4177-9b90-10483fb3c39b.png?resizew=579)
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2022-08-15更新
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689次组卷
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7卷引用:2023版 苏教版(2019) 必修第一册 名校名师卷 第十单元 角与弧度
2023版 苏教版(2019) 必修第一册 名校名师卷 第十单元 角与弧度2023版 湘教版(2019) 必修第一册 名师精选卷 第十单元 任意角与弧度制(已下线)7.1 角与弧度(2)(已下线)第四章 三角函数与解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数(讲)(已下线)模块二 专题4《三角函数的概念》单元检测篇 A基础卷 (人教A)(已下线)模块二 专题4《三角函数的概念》单元检测篇 A基础卷 (人教A)期末终极研习室(已下线)考点20 三角函数的数学文化 --2024届高考数学考点总动员【讲】
8 . “费马点”是由十七世纪法国业余数学家之王费马提出并征解的一个问题,该问题是指在位于三角形内找一个到三角形三个顶点距离之和最小的点.由当时意大利数学家托里拆利给出解答,当三角形三个内角均小于
时,“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角相等且均为
;当三角形有一内角大于或等于
时,所求点为三角形最大内角的顶点.在
中,
、
、
的对边分别为a、b、c,且
,
,
成等差数列,
.
(1)证明:
是直角三角形;
(2)若O是
的“费马点”,
.设
,
,
,求
的值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a6c0927afc571a7c966c98192040979e.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3818a2c9919d358b4c3713396093822b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/febc9a89d0d1c97b88c0f4acd32b4e67.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4f6ddb3766b5215c115a0abf597598aa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a881309775c3b6a9f4ed408838666342.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/566f7614d51f0348db982a9440de8844.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8987742eaab996239d10bdd9e329ac9f.png)
(1)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
(2)若O是
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8e258ab9e600435b37465092243d99f6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/40a381009232d8745a8ab0df968d9f92.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e8b9bc91548db1a5ce23f047bd59627.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/49df9932c562db126b7cc006fbb6b209.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e1433c8103033c67232f2f9ae189608d.png)
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9 . 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世数学家处理数学问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明,这种证明方式优雅而直观.观察图形可知,阴影直角三角形的短直角边为
或
,所以该图直观地反映了公式
.通过观察图中阴影直角三角形长直角边和长方形的宽,可得公式( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/4/29/2968605103947776/2969127703822336/STEM/53a2a61d-cb8c-4eb7-8a42-3d57231cb658.png?resizew=196)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cc3884b343d76a26b4b85b48987d7064.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/07efbd489972e665938df105d242be47.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b9cf59a49b76fbf99877aec6c8d2fcd.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/4/29/2968605103947776/2969127703822336/STEM/53a2a61d-cb8c-4eb7-8a42-3d57231cb658.png?resizew=196)
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B.![]() |
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名校
10 . 南宋时期,数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式:如果一个三角形的三边长分别为
,那么三角形的面积
,后人称之为秦九韶公式.这与古希腊数学家海伦证明的面积公式
,
实质是相同的.若在
中,
,
,
,则
的面积为____ ,
的内切圆半径为____ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/76f0649064a085fb74c997fb507a9b6d.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f95d641982270ff58fe55a80e6891d5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a69d6967f3611f00ab636fe89c0cfce3.png)
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2021-08-03更新
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139次组卷
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2卷引用:浙江省丽水市2020-2021学年高二下学期期末数学试题