1 . 定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）.
定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）.
定义3:对于一个数集，如果满足下列关系:
①有零元和单位元；
②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域.
(1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）；
(2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的；
(3)已知集合，证明:集合是一个数域.

2 . 请问是否存在这样的集合，它的某一个元素同时又是它的子集？若存在，请举例；若不存在，请简要说明理由．

3 . 已知数集含有（）个元素，定义集合．
(1)若，写出；
(2)写出一个集合，使得；
(3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由．

4 . 已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有．
(1)直接写出中所有元素之积的所有可能值；
(2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求；
(3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值．

5 . 对非空整数集合M及，定义，对于非空整数集合A，B，定义.
(1)设，请直接写出集合；
(2)设，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；
(3)对三个非空整数集合A，B，C，若且，求所有可能取值．

6 . 已知元正整数集合满足：，且对任意，都有
(1)若，写出所有满足条件的集合；
(2)若恰有个正约数，求证：；
(3)求证：对任意的，都有.

7 . 若，求的取值范围．

8 . 集合如果存在一组两两不交的（两个集合交集为空集时，称为不交）非空子集、、…、，满足，则称子集组、、…、构成集合的一个划分．子集组：（），与子集组：（）的并集都是集合．
(1)用列举法写出集合．
(2)判断其子集组、是否分别是的划分与划分．
(3)在子集组、中任取7个子集，求其并集中元素个数的最小值．

9 . 设S为满足下列两个条件的实数所构成的集合：（1）；（2）若，则求解下列问题：
(1)若数列中的项都在中，求中所含元素个数最少的集合；
(2)在中任取3个元素a，b，c，求使的概率；
(3)中所含元素个数一定是个吗？若是，请给出证明；若不是，试说明理由．

10 . 已知集合满足以下条件：①；②若，则.
(1)求证：集合至少有3个元素；
(2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由.