1 . 已知数集（，）具有性质：对任意的、（），与两数中至少有一个属于.
（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：，且；
（3）证明：当时，、、、、成等比数列.

2 . 给定整数()，设集合，记集合．
（1）若，求集合；
（2）若构成以为首项，()为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为；
（3）若构成以为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和．

3 . 对于集合，，,.集合中的元素个数记为.规定：若集合满足，则称集合具有性质．
（I）已知集合，，写出，的值；
（II）已知集合，为等比数列，，且公比为，证明：具有性质；
（III）已知均有性质，且，求的最小值.

4 . 设n为正整数，规定： （其中n个f），已知.
(1)解不等式；
(2)设集合，对任意，证明：；
(3)求的值；
(4)(理)若集合，证明：B中至少包含8个元素.

5 . 已知集合，其中，．如果集合满足：对于任意的，都有，那么称集合具有性质．
（Ⅰ）写出一个具有性质的集合；
（Ⅱ）证明：对任意具有性质的集合，；
（Ⅲ）求具有性质的集合的个数．

7 . 已知：集合，其中
．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质：
①中元素个数不少于个．
②，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是．则称为的一个好子集．
（）若为的一个好子集，且，，写出，．
（）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过．
（）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．

8 . 已知集合，其中，表示中所有不同值的个数.
(1)若集合，求；
(2)若集合，求证：的值两两不同，并求；
(3)求的最小值.（用含的代数式表示）

9 . 已知等差数列与等比数列是非常数的实数列，设.
（1）请举出一对数列与，使集合中有三个元素；
（2）问集合中最多有多少个元素？并证明你的结论；

10 . 已知数集具有性质:对任意的,,使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(2)求证;
(3)若,求数集中所有元素的和的最小值.