名校
1 . 已知数集
具有性质
：对任意
，
与
两数中至少有一个属于
．
(1)分别判断数集
与
是否具有性质；
(2)求证：
；
(3)给定正整数
，求证：
，
，
，
组成等差数列．
具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．(1)分别判断数集
与是否具有性质；(2)求证：
；(3)给定正整数
，求证：，，，组成等差数列．
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2023-12-20更新
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405次组卷
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4卷引用：北京市海淀区中央民族大学附中2024届高三上学期12月月考数学试题
北京市海淀区中央民族大学附中2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编北京市北京师范大学燕化附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
2 . 定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义2：集合
上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族
，它满足以下条件：（1）
和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族
，族
，判断族
与族
是否为集合的拓扑；
(2)设有限集为全集
（i）证明：
；
（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族
为集合上的一个拓扑.
定义2：集合
上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.(1)族
，族，判断族与族是否为集合的拓扑；(2)设有限集
为全集（i）证明：
；（ii）族
为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
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解题方法
3 . 已知集合
是由某些正整数组成的集合，且满足：若
，则当且仅当
其中
且
，或
其中
且
.现有如下两个命题: ①
；②集合
.则下列选项中正确的是（ ）
是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（ ）| A．①是真命题， ②是真命题； | B．①是真命题， ②是假命题 |
| C．①是假命题， ②是真命题； | D．①是假命题， ②是假命题. |
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名校
4 . 已知正整数
，对集合
及其每一个非空子集，记
，其中
，定义一个运算“交替和”
.例如：对于集合
，
.则当
时，集合的所有子集的“交替和”的总和为_________ .
，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为
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名校
5 . 对于平面上点和曲线
，任取上一点，若线段
的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作
．下列结论中正确的个数为（ ）
①若曲线是一个点，则点集
所表示的图形的面积为
；
②若曲线是一个半径为
的圆，则点集
所表示的图形的面积为
；
③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为
；
④若曲线是边长为
的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为
．
和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（ ）①若曲线
是一个点，则点集所表示的图形的面积为；②若曲线
是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为；③若曲线
是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为；④若曲线
是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为．| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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2023-11-23更新
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435次组卷
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6卷引用：浙江省湖州市第二中学2024届高三上学期期中数学试题
浙江省湖州市第二中学2024届高三上学期期中数学试题（已下线）考点3 与集合相关的新定义问题 --2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）专题1 直线与圆的位置关系【练】（压轴小题大全）北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（已下线）专题02 直线和圆的方程（5）（已下线）2.1.4 圆与圆的位置关系(十大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
23-24高三上·北京·期中
名校
6 . 已知集合
，集合
，且满足，
，
与
恰有一个成立.对于
定义
，以及
，其中
.
例如
.
(1)若
，
，求
的值及
的最大值；
(2)从
中任意删去两个数，记剩下的数的和为
，求的最小值（用
表示）；
(3)对于满足
的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素
，
，
，使得
恒成立？请说明理由.
，集合，且满足，，与恰有一个成立.对于定义，以及，其中.例如
.(1)若
，，求的值及的最大值；(2)从
中任意删去两个数，记剩下的数的和为，求的最小值（用表示）；(3)对于满足
的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立？请说明理由.
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名校
解题方法
7 . 对非空整数集合M及
，定义
，对于非空整数集合A，B，定义
.
(1)设
，请直接写出集合
；
(2)设
，
，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；
(3)对三个非空整数集合A，B，C，若
且
，求
所有可能取值．
，定义，对于非空整数集合A，B，定义.(1)设
，请直接写出集合；(2)设
，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；(3)对三个非空整数集合A，B，C，若
且，求所有可能取值．
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2023-11-05更新
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1339次组卷
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4卷引用：2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题变式题16-19
（已下线）2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题变式题16-19（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）讲江苏省徐州市沛县第二中学2024届高三下学期期初测试数学试题北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
名校
解题方法
8 . 已知
元正整数集合
满足：
，且对任意
，都有
(1)若
，写出所有满足条件的集合
；
(2)若
恰有
个正约数，求证：
；
(3)求证：对任意的
，都有
.
元正整数集合满足：，且对任意，都有(1)若
，写出所有满足条件的集合；(2)若
恰有个正约数，求证：；(3)求证：对任意的
，都有.
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名校
9 . 设m是实数，已知集合
，集合
，且
，则m的取值范围是_______ ．
，集合，且，则m的取值范围是
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2023-09-11更新
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767次组卷
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4卷引用：上海市敬业中学2024届高三上学期开学考试数学试题
上海市敬业中学2024届高三上学期开学考试数学试题海南省海口市琼山华侨中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题海南省省直辖县级行政单位澄迈县澄迈中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）2.1.4 圆与圆的位置关系(十大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
23-24高三上·北京·开学考试
名校
10 . 正实数构成的集合
，定义
.当集合
中恰有
个元素时，称集合A具有性质
.
(1)判断集合
，
是否具有性质；
(2)若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值：
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
，定义.当集合中恰有个元素时，称集合A具有性质.(1)判断集合
，是否具有性质；(2)若集合A具有性质
，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值：(3)若集合A具有性质
，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
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