1 . 整数集的符号
取自德文整数单词的首字母，这是为了纪念德国女数学家艾米·诺特对整数理论的重大贡献，她的代表著作《整环的理想理论》大幅推动了现代数学抽象代数理论的发展.数环的定义为：设A是非空数集，如果对
，都有
，且
成立，称A是个数环.
(1)分别判断下列3个集合是否是一个数环，并说明理由：
(2)求证：任何数环都有元素0：
(3)求证：若
､
是数环，则
是数环.
取自德文整数单词的首字母，这是为了纪念德国女数学家艾米·诺特对整数理论的重大贡献，她的代表著作《整环的理想理论》大幅推动了现代数学抽象代数理论的发展.数环的定义为：设A是非空数集，如果对，都有，且成立，称A是个数环.(1)分别判断下列3个集合是否是一个数环，并说明理由：
(2)求证：任何数环都有元素0：
(3)求证：若
､是数环，则是数环.
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名校
2 . 已知有限集
，如果
中的元素
满足
，就称为“完美集”．
(1)判断：集合
是否是“完美集”并说明理由；
(2)
是两个不同的正数，且
是“完美集”，求证：至少有一个大于2；
(3)若
为正整数，求：“完美集”.
，如果中的元素满足，就称为“完美集”．(1)判断：集合
是否是“完美集”并说明理由；(2)
是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2；(3)若
为正整数，求：“完美集”.
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今日更新
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634次组卷
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2卷引用：上海市延安中学2024-2025学年高一上学期新生综合素质检测数学试卷
名校
3 . 设集合
是正整数集的子集，且中至少有两个元素，若集合
满足以下三个条件：①是正整数的子集，且中至少有两个元素；②对于任意
，当
，都有
；③对于任意
，若
，则
；则称集合为集合的“耦合集，若集合
，且
，设
，则集合的“耦合集”
________
是正整数集的子集，且中至少有两个元素，若集合满足以下三个条件：①是正整数的子集，且中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设，则集合的“耦合集”
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4 . 群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设
是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对任意的
，有
；
②对任意的
，有
；
③存在
，使得对任意的
，有
称为单位元；
④对任意的，存在
，使
，称
与
互为逆元.
则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（ ）
是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的
，有；②对任意的
，有；③存在
，使得对任意的，有称为单位元；④对任意的
，存在，使，称与互为逆元.则称
关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（ ）A． 关于数的乘法构成群 |
B．自然数集 关于数的加法构成群 |
C．实数集 关于数的乘法构成群 |
D． 关于数的加法构成群 |
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7日内更新
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261次组卷
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3卷引用：上海市宝山区世外学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷
名校
解题方法
5 . 已知数集
具有性质P；对任意的i，
，
与
两数中至少有一个属于A．
(1)请直接写出一个具有性质P的数集
(2)求证：
．
具有性质P；对任意的i，，与两数中至少有一个属于A．(1)请直接写出一个具有性质P的数集
(2)求证：
．
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6 . 已知是R的非空真子集，如果对任意
，都有
，则称是封闭集．
(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题
：若非空集合
是封闭集，则
也是封闭集；
命题
：非空集合是封闭集，则
是
是封闭集的充要条件；
(3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集
是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集．(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题
：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题
：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件；(3)若非空集合
是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集
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名校
解题方法
7 . 已知数集
具有性质
：对任意的
与两数中至少有一个属于.
(1)分别判断数集
与
是否具有性质，并说明理由；
(2)（i）证明：
且
；
（ii）当
时，若
，写出集合.
具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于.(1)分别判断数集
与是否具有性质，并说明理由；(2)（i）证明：
且；（ii）当
时，若，写出集合.
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2024-09-16更新
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206次组卷
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2卷引用：山东省曹县第一中学等2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题
名校
8 . 已知
是等差数列，
，存在正整数
，使得
，
，
.若集合
中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）个
是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）个| A．2 | B．3 | C．4 | D．5 |
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9 . 若规定集合
的子集
为
的第
个子集，其中
，则的第211个子集的真子集个数为 ___________ .
的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集的真子集个数为
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名校
10 . 已知有限集
，如果中的元素
满足，就称为“完美集”.①集合
是“完美集”；②若是两个不同的正数，且
是“完美集”，则至少有一个大于
；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且
；上列结论是真命题的个数为（ ）
，如果中的元素满足，就称为“完美集”.①集合是“完美集”；②若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于；③二元“完美集”有无穷多个；④若为正整数，则“完美集”有且只有一个，且；上列结论是真命题的个数为（ ）| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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