1 . 已知集合.
(1)“算两次”思想在组合数学中有着重要应用.例如:对于一个元集合的所有子集个数,一方面有,另一方面:对于所有子集,每个中的元素有“出现”和“不出现”两种选择,由分布计数原理可得,因此有.令,试用算两次思想化简;
(2)对于的子集个数还可以这样理解:,展开式中每一项都唯一对应着的一个子集.令,试化简;
(3)对偶原理也是组合数学的重要方法,例如数学王子高斯小时候在计算的值时,他把与配对,与配对,从而化变量为常量,大大简化了计算.这其实就是对偶原理的一种体现.令,其中是中元素从小到大的一个排列,试用对偶原理化简.
(1)“算两次”思想在组合数学中有着重要应用.例如:对于一个元集合的所有子集个数,一方面有,另一方面:对于所有子集,每个中的元素有“出现”和“不出现”两种选择,由分布计数原理可得,因此有.令,试用算两次思想化简;
(2)对于的子集个数还可以这样理解:,展开式中每一项都唯一对应着的一个子集.令,试化简;
(3)对偶原理也是组合数学的重要方法,例如数学王子高斯小时候在计算的值时,他把与配对,与配对,从而化变量为常量,大大简化了计算.这其实就是对偶原理的一种体现.令,其中是中元素从小到大的一个排列,试用对偶原理化简.
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名校
2 . 对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形K在m(旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合,就称K具有对称性,并记m为K的一个对称变换.例如,正三角形R在(绕中心O作120°的旋转)的作用下仍然与R重合(如图1图2所示),所以是R的一个对称变换,考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系,记;又如,R在(关于对称轴所在直线的反射)的作用下仍然与R重合(如图1图3所示),所以也是R的一个对称变换,类似地,记.记正三角形R的所有对称变换构成集合S.一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群,假如同时满足:
I.,;
II.,;
Ⅲ.,,;
Ⅳ.,,.
对于一个群G,称Ⅲ中的e为群G的单位元,称Ⅳ中的为a在群G中的逆元.一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群,假如H对于G的代数运算来说作成一个群.
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一,如.对于集合S中的元素,定义一种新运算*,规则如下:,.
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群;
②已知H是群G的一个子群,e,分别是G,H的单位元,,,分别是a在群G,群H中的逆元.猜想e,之间的关系以及,之间的关系,并给出证明;
③写出群S的所有子群.
I.,;
II.,;
Ⅲ.,,;
Ⅳ.,,.
对于一个群G,称Ⅲ中的e为群G的单位元,称Ⅳ中的为a在群G中的逆元.一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群,假如H对于G的代数运算来说作成一个群.
(1)直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素);
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一,如.对于集合S中的元素,定义一种新运算*,规则如下:,.
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群;
②已知H是群G的一个子群,e,分别是G,H的单位元,,,分别是a在群G,群H中的逆元.猜想e,之间的关系以及,之间的关系,并给出证明;
③写出群S的所有子群.
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2024-03-20更新
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1829次组卷
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8卷引用:安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题
安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024届高三第二次模拟考试数学试题安徽省天域全国名校协作体2024届高三下学期联考(二模)数学试题山东省菏泽市单县第一中学2024届高三下学期3月月考数学试题(已下线)安徽省天域全国名校协作体2024届高三下学期联考(二模)数学试题变式题16-19(已下线)压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总-2(已下线)拔高点突破01 集合背景下的新定义压轴解答题(四大题型)江苏省部分省级示范性重点中学2025届高三七月摸底考试数学试卷江苏省南京市第一中学2025届高三暑期阶段性测试数学试卷
3 . 设A,B是两个非空集合,如果对于集合A中的任意一个元素x,按照某种确定的对应关系,在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应,并且不同的x对应不同的y;同时B中的每一个元素y,都有一个A中的元素x与它对应,则称:为从集合A到集合B的一一对应,并称集合A与B等势,记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系,则称A与B不等势,记作.
例如:对于集合,,存在一一对应关系,因此.
(1)已知集合,,试判断是否成立?请说明理由;
(2)证明:①;
②.
例如:对于集合,,存在一一对应关系,因此.
(1)已知集合,,试判断是否成立?请说明理由;
(2)证明:①;
②.
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2024-04-18更新
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1356次组卷
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6卷引用:浙江省台州市2024届高三下学期第二次教学质量评估数学试题
浙江省台州市2024届高三下学期第二次教学质量评估数学试题(已下线)压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总 -1河北省名校联盟2024届高三下学期4月第二次联考数学试题 (已下线)情境10 存在性探索命题(已下线)拔高点突破01 集合背景下的新定义压轴解答题(四大题型)辽宁省锦州市锦州中学2024届高三适应性考试(六模)数学试卷
4 . 对于给定的一个位自然数(其中,),称集合为自然数的子列集合,定义如下:{且,使得},比如:当时,.
(1)当时,写出集合;
(2)有限集合的元素个数称为集合的基数,一般用符号来表示.
(ⅰ)已知,试比较大小关系;
(ⅱ)记函数(其中为这个数的一种顺序变换),并将能使取到最小值的记为.当时,求的最小值,并写出所有满足条件的.
(1)当时,写出集合;
(2)有限集合的元素个数称为集合的基数,一般用符号来表示.
(ⅰ)已知,试比较大小关系;
(ⅱ)记函数(其中为这个数的一种顺序变换),并将能使取到最小值的记为.当时,求的最小值,并写出所有满足条件的.
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5 . 给定整数,由元实数集合定义其随影数集.若,则称集合为一个元理想数集,并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合是不是理想数集;(结论不要求说明理由)
(2)任取一个5元理想数集,求证:;
(3)当取遍所有2024元理想数集时,求理数的最小值.
注:由个实数组成的集合叫做元实数集合,分别表示数集中的最大数与最小数.
(1)分别判断集合是不是理想数集;(结论不要求说明理由)
(2)任取一个5元理想数集,求证:;
(3)当取遍所有2024元理想数集时,求理数的最小值.
注:由个实数组成的集合叫做元实数集合,分别表示数集中的最大数与最小数.
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名校
6 . 已知等差数列的公差,数列满足,集合.
(1)若,,求集合;
(2)若,求使得集合恰有两个元素;
(3)若集合恰有三个元素,,T是不超过5的正整数,求T的所有可能值,并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.
(1)若,,求集合;
(2)若,求使得集合恰有两个元素;
(3)若集合恰有三个元素,,T是不超过5的正整数,求T的所有可能值,并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.
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2019-08-16更新
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688次组卷
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3卷引用:上海市大同中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题
上海市大同中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题(已下线)上海期末真题精选50题(大题压轴版)-2020-2021学年高一数学下册期中期末考试高分直通车(沪教版2020必修第二册)河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中数学(理)试题