1 . （1）求证：已知，，，，，并指出等号成立的条件；
（2）求证：对任意的，关于的两个方程与至少有一个方程有实数根（反证法证明）；
（3）求证：使得不等式对一切实数，，都成立的充要条件是，，且.

2 . 设是虚数，
(1)求证为实数的充要条件为；
(2)若，推测为实数的充要条件；
(3)由上结论，求满足条件，及实部与虚部均为整数的复数．

3 . 当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，．
(1)计算；
(2)证明，“或”是“”的充要条件．

4 . 已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
(1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；
(3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．

5 . 对于实数构成的集合.若对任意都有（其中“”表示普通的乘法运算），则称集合对“”是封闭的.
(1)已知集合，判断是否属于集合；
(2)在（1）的条件下，若，证明的充要条件是；
(3)若集合对“”都是封闭的，试判断是否对“”封闭，请说明理由.

6 . （1）已知集合，．证明：的充要条件是；
（2）模仿上述命题，写出一个不同于（1）的命题，判断命题的真假并说明理由．

7 . 对于给定集合，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是“封闭集合”．设为实常数且，集合，证明：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得．

8 . 求证：一个三角形是钝角三角形的充要条件是三角形内有一条边的平方大于另两条边的平方和．

9 . 已知：实数，求证：不等式 成立的充分条件是.

10 . 求证：对任意实数，，，成立，等号成立的充分必要条件．