1 . （1）比较和的大小，并证明；
（2）求值：．

2 . 技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.
(1)根据香农公式，如果不改变带宽，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升
(2)已知信号功率，证明：；
(3)现有3个并行的信道，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）

3 . 已知函数．
(1)当时，判断的奇偶性并证明；
(2)若函数的图象上存在两点，，其关于轴的对称点，恰在函数的图象上，求实数的取值范围．

4 . 如图，过函数的图像上的两点A，B作轴的垂线，垂足分别为M，，线段BN与函数，的图像交于点C，且AC与轴平行.

（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求的最小值；
（3）已知，，若，为区间内任意两个变量，且，求证：.

5 . 已知函数的图象经过点和，记，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求证：．