1 . 已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表：

月	10	11	12
普姆克系数	10240	20480	40960

(1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式；
(2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？

2 . 汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，在汽车的惯性作用下会有一个停车距离.记驾驶员的停车距离为（单位：），驾驶员反应时间内汽车所行距离为（单位），刹车距离为（单位），则，其中与刹车时的车速单位，满足与刹车时的车速的部分关系见下表：

	15	30	60	105
	1.25	5	20	61.25

(1)在坐标平面内画出的散点图，从①；②③中选择最恰当的一个函数模型拟合与之间的关系，并求出其解析式；
(2)在限速的高速公路上，驾驶员遇障碍物紧急刹车，已知驾驶员的停车距离为，请根据（1）中所求的解析式，判断驾驶员是否超速行驶.

3 . 设，，．令，．

(1)请分别化简下列各式：①；②；③；
(2)结合（1）中的化简结果，谈谈你对对数函数、幂函数、指数函数变化的感受．

4 . 科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒．

5 . 幂函数的增长快慢和幂指数的大小密切相关．但是，增长很快的幂函数和增长比较慢的指数函数相比，仍然是小巫见大巫．请用计算器计算并填写下表，探索这个现象．

0
1
30
50
100
150
200
250

6 . 将温度探头放入一杯水中，随着时间变化记录水温数据，得到下表数据．

时间/min	1	2	3	4	5
温度/℃	90.5	82.5	75.5	69.0	63.5

(1)描点画出水温随时间变化的大致图象；
(2)建立一个能基本反映水温（）随时间变化的函数模型，并借助计算机软件作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度；
(3)分析所得的函数模型图象，估计经过多少分钟水温才会降到26℃左右？

7 . Logistic模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为，其中是间隔年份t时的人口数量，K是有关人口极限规模的待定参数，r、C是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数，已知某地区的人口数据如下表；

时间	2010年	2015年	2020年	…
间隔年份t（单位：年）	0	5	10	…
人口数量（单位：万）	80	86.368	92.076	…

该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算，发现Logistic函数能比较好地描述2010年起该地区的人口数量（单位：万）与间隔年份t（单位：年）的关系.
(1)请估计该地区2030年的人口数量（结果保留3位小数）；
(2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a（结果保留3位小数）.
参考数据；，，.

8 . 如图，身高为1.8m的人以1.2m/s的速度离开路灯．路灯高4.2m．

(1)求身影的长度（单位：m）与人距路灯的距离（单位：m）之间的关系；
(2)解释身影长的变化率与人步行速度的关系；
(3)当时，求身影长的变化率．

9 . 下图1为世界各洲在一段时间内人口数量随时间变化的曲线，这些曲线描述的人口变化规律与图2中的曲线有何不同？试分析原因．

10 . 2005年8月，时任浙江省委书记的习近平同志就提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断．为了改善农村卫生环境，振兴乡村，加快新农村建设，某地政府出台了一系列惠民政策和措施．某村民为了响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方体形状的沼气池，利用秸秆、人畜肥等做沼气原料，用沼气解决日常生活中的燃料问题．若沼气池的体积为18立方米，深度为3米，池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米90元，池盖的造价为每平方米150元．设沼气池底面长方形的一边长为米，但由于受场地的限制，不能超过2．
(1)求沼气池总造价关于的函数，并指出函数的定义域；
(2)怎样设计沼气池的尺寸，可以使沼气池的总造价最低？并求出最低造价．