1 . 对数函数与指数函数的图象与性质．

   

(1)求对数曲线过点的切线方程，并画出对数曲线和所求切线的图象．
(2)观察（1）中的图象，你发现切线在切点附近非常接近曲线吗？当很小时，你能得出近似公式吗？试用此近似公式计算以及的近似值．
(3)再观察（1）中的图象，你可以发现切线行在曲线上方，即对所有的，不等式恒成立．试通过理论推导证明这个不等式．（提示：求函数的最小值．）
(4)对数曲线：关于直线的轴对称图形是什么函数的图象？对数曲线的切线的轴对称图形是曲线的切线吗？试写出它的方程，并判断该切线是在曲线的上方还是下方．你能得出什么不等式？
(5)为什么对数曲线在点处的切线的斜率“正好”等于1？
因为当时，斜率．
又因为当，，因此．若将对数的底数取，则切线的斜率．
试仿此求出曲线在点处的切线方程．形式上复杂吗？

2 . 如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路．点P所在的山坡面与山脚所在水平面a所成的二面角为（），且，点P到平面的距离．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用，从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为lkm（）时，其造价为万元．已知，，km，．

(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小．
(2)对于（1）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．
(3)在AB上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（2）中得到的最小总造价？证明你的结论．
(4)你能将上述模型进行推广，解决其他的实际问题吗？