1 . 已知函数.
(1)若在上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)当时.
(i)求证:函数在上单调递增;
(ii)设区间(其中),证明:存在实数,使得函数在区间I上总存在极值点.
(1)若在上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)当时.
(i)求证:函数在上单调递增;
(ii)设区间(其中),证明:存在实数,使得函数在区间I上总存在极值点.
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2 . 已知常数,设,
(1)若,求函数的最小值;
(2)是否存在,且,,依次成等比数列,使得、、依次成等差数列?请说明理由.
(3)求证:“”是“对任意,,都有”的充要条件.
(1)若,求函数的最小值;
(2)是否存在,且,,依次成等比数列,使得、、依次成等差数列?请说明理由.
(3)求证:“”是“对任意,,都有”的充要条件.
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名校
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3 . 已知函数和的定义域分别是A和B,若函数和同时满足下列两个条件:
①对任意的,都有或对任意的,都有;
②存在,使得.
则称和互为“依偎函数”,记作,其中,叫做“依偎点”.
(1)是否存在有无数个“依偎点”?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由;
(2)若函数,,是否存在k,使得如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由;
(3)求证:,其中.
①对任意的,都有或对任意的,都有;
②存在,使得.
则称和互为“依偎函数”,记作,其中,叫做“依偎点”.
(1)是否存在有无数个“依偎点”?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由;
(2)若函数,,是否存在k,使得如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由;
(3)求证:,其中.
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4 . 设函数的定义域为,若存在实数,使得对于任意,都有,则称函数有上界,实数的最小值为函数的上确界;记集合{在区间上是严格增函数};
(1)求函数的上确界;
(2)若,求的最大值;
(3)设函数一定义域为;若,且有上界,求证:,且存在函数,它的上确界为0;
(1)求函数的上确界;
(2)若,求的最大值;
(3)设函数一定义域为;若,且有上界,求证:,且存在函数,它的上确界为0;
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名校
解题方法
5 . 设函数在区间上可导,为函数的导函数.若是上的减函数,则称为上的“上凸函数”;反之,若为上的“上凸函数”,则是上的减函数.
(1)判断函数在上是否为“上凸函数”,并说明理由;
(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”,求的取值范围;
(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”,为曲线上的任意一点,求证:除点外,曲线上的每一个点都在点处切线的下方.
(1)判断函数在上是否为“上凸函数”,并说明理由;
(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”,求的取值范围;
(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”,为曲线上的任意一点,求证:除点外,曲线上的每一个点都在点处切线的下方.
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6 . 已知抛物线,.
(1)直线交抛物线于A,B两点,求面积的最大值;
(2)已知P,Q是上的不同两点,且直线的斜率,直线,分别交抛物线于,,,四点,求证:,,,四点共圆.
(1)直线交抛物线于A,B两点,求面积的最大值;
(2)已知P,Q是上的不同两点,且直线的斜率,直线,分别交抛物线于,,,四点,求证:,,,四点共圆.
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7 . 如图,在正三棱锥中,,点满足,,过点作平面分别与棱AB,BD,CD交于Q,S,T三点,且,.(1)证明:,四边形总是矩形;
(2)若,求四棱锥体积的最大值.
(2)若,求四棱锥体积的最大值.
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名校
8 . 设是正整数,
(1)求证:当时,
(2)求证:当时,
(1)求证:当时,
(2)求证:当时,
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2024-02-11更新
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98次组卷
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2卷引用:中原名校2022年高三一轮复习检测联考卷数学(理)试题
解题方法
9 . 已知,记(且).
(1)当(是自然对数的底)时,试讨论函数的单调性和最值;
(2)试讨论函数的奇偶性;
(3)拓展与探究:
① 当在什么范围取值时,函数的图象在轴上存在对称中心?请说明理由;
②请提出函数的一个新性质,并用数学符号语言表达出来.(不必证明)
(1)当(是自然对数的底)时,试讨论函数的单调性和最值;
(2)试讨论函数的奇偶性;
(3)拓展与探究:
① 当在什么范围取值时,函数的图象在轴上存在对称中心?请说明理由;
②请提出函数的一个新性质,并用数学符号语言表达出来.(不必证明)
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10 . 某课题实验小组共有来自三个不同班级的45名学生,这45名学生中,,B,C三个班级的人数比为4:3:2.
(1)某次实验活动需从这45人中用分层抽样的方法随机抽取9人组成一个核心小组,再从这9人中随机抽取3人负责核心工作,记随机抽取的3人中来自B班级的人数为,求的分布列和数学期望;
(2)由于不同的实验需要的人数不同,所以为便于进行实验的配合,实验过程中有2人一组,也有多人一组(多于2人),其中2人一组的为基础实验,其他的为研发实验,实验结束后进行实验结果交流.记发言的小组来自研发实验的概率为,若共有5组进行发言,用表示恰有3组来自研发实验的概率,证明:的最大值不会超过.
(1)某次实验活动需从这45人中用分层抽样的方法随机抽取9人组成一个核心小组,再从这9人中随机抽取3人负责核心工作,记随机抽取的3人中来自B班级的人数为,求的分布列和数学期望;
(2)由于不同的实验需要的人数不同,所以为便于进行实验的配合,实验过程中有2人一组,也有多人一组(多于2人),其中2人一组的为基础实验,其他的为研发实验,实验结束后进行实验结果交流.记发言的小组来自研发实验的概率为,若共有5组进行发言,用表示恰有3组来自研发实验的概率,证明:的最大值不会超过.
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