1 . 已知数列、满足，其中数列的前项和，
（1）若数列是首项为.公比为的等比数列，求数列的通项公式；
（2）若，求证：数列满足，并写出的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设，求证中任意一项总可以表示成该数列其它两项之积.

2 . 给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）已知数列的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由；
（2）已知数列满足且，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；
（3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使．

3 . 已知是数列的前项和，对任意，都有；
（1）若，求证：数列是等差数列，并求此时数列的通项公式；
（2）若，求证：数列是等比数列，并求此时数列的通项公式；
（3）设，若，求实数的取值范围.

4 . 设数列的前项和为，若，则称是“数列”.
（1）若是“数列”，且，，，，求的取值范围；
（2）若是等差数列，首项为，公差为，且，判断是否为“数列”；
（3）设数列是等比数列，公比为，若数列与都是“数列”，求的取值范围.

5 . 给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”．
（1）设是首项为，公比为的等比数列，，判断数列是否
与接近，并说明理由；
（2）设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数；
（3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，…，中至少有个为正数，求的取值范围．

6 . 设函数，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若为正整数，设的解集为，求及数列的前项和；
（3）对于（2）中的数列，设，求数列的前项和的最大值.

7 . 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．

8 . 【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．
（1）若数列的前项和，求证：数列为“ 数列”；
（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；
（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．

9 . 对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.
（1）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；
（2）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；
（3）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.

10 . 已知数列{a_n}的各项均为整数，其前n项和为S_n．规定：若数列{a_n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a_n}为“r关联数列”．
（1）若数列{a_n}为“6关联数列”，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，求出S_n，并证明：对任意n∈N^*，a_nS_n≥a₆S₆；
（3）已知数列{a_n}为“r关联数列”，且a₁=﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a₁+a₂+…+a_k﹣1+a_k=a₁+a₂+…+a_m﹣1+a_m？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．