名校
1 . 给定正整数
，若项数为
的正实数数列
满足：
，且
，称数列为“
数列”．如果“数列”存在
分别是一个锐角三角形的三个边长，则称这个项数列为“
数列”．
(1)判断数列：2，2，2，2，2和数列
：1，2，3，4，5是否为“数列”；
(2)正数数列满足：
．证明：数列是“数列”，但不是“数列”；
(3)若任意的项“数列”均为“数列”，求出所有满足条件的整数．
，若项数为的正实数数列满足：，且，称数列为“数列”．如果“数列”存在分别是一个锐角三角形的三个边长，则称这个项数列为“数列”．(1)判断数列
：2，2，2，2，2和数列：1，2，3，4，5是否为“数列”；(2)正数数列
满足：．证明：数列是“数列”，但不是“数列”；(3)若任意的
项“数列”均为“数列”，求出所有满足条件的整数．
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2 . 已知数列
满足，
，
，且
．记集合
．
(1)若
，求集合中元素的个数；
(2)①求证：
，
．
②若集合中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；
(3)求集合中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．
满足，，，且．记集合．(1)若
，求集合中元素的个数；(2)①求证：
，．②若集合
中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；(3)求集合
中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．
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解题方法
3 . 已知数列是无穷数列，
.
(1)若
，
，写出
，
的值；
(2)已知数列中
，求证：数列中有无穷项为
；
(3)已知数列中任何一项都不等于，且
，记
，其中
为，
中较大的数. 求证：数列是递减数列.
是无穷数列，.(1)若
，，写出，的值；(2)已知数列
中，求证：数列中有无穷项为；(3)已知数列
中任何一项都不等于，且，记，其中为，中较大的数. 求证：数列是递减数列.
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4 . 已知数列的首项
，其中
，
，令集合
．
(1)若
，写出集合A中的所有的元素；
(2)若
，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
(3)求证：
．
的首项，其中，，令集合．(1)若
，写出集合A中的所有的元素；(2)若
，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；(3)求证：
．
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5 . 已知向量
，其中
是两两不相等的正整数．记
，
，其分量之间满足递推关系
，
，
，
，
．
(1)当
时，直接写出向量
；
(2)证明：不存在
，使得中
；
(3)证明：存在
，当
时，向量满足
．
，其中是两两不相等的正整数．记，，其分量之间满足递推关系，，，，．(1)当
时，直接写出向量；(2)证明：不存在
，使得中；(3)证明：存在
，当时，向量满足．
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6 . 已知数列满足:，且对任意
，都有
．
(1)直接写出
的值;
(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
满足:，且对任意，都有．(1)直接写出
的值;(2)猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明．
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7 . 已知数列中，
且
.
(1)求数列的第2，3，4项；
(2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
中，且.(1)求数列
的第2，3，4项；(2)根据（1）的计算结果，猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法证明.
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解题方法
8 . 已知数集
具有性质
：对任意的
，
，
，使得
成立．
(1)分别判断数集
与
是否具有性质，并说明理由；
(2)若
，求
中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合；
(3)求证：
．
具有性质：对任意的，，，使得成立．(1)分别判断数集
与是否具有性质，并说明理由；(2)若
，求中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合；(3)求证：
．
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2024-02-24更新
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149次组卷
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2卷引用：北京市第十九中学2022-2023学年高一上学期（10月月考）期中练习（一）数学试题
名校
9 . 已知是无穷数列，，
，且对于中任意两项
，
，在中都存在一项
，使得
.
(1)若
，
，求
；
(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；
(3)若
，求数列的通项公式.
是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得.(1)若
，，求；(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；(3)若
，求数列的通项公式.
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名校
10 . 设为给定的正奇数，定义无穷数列
，
其中
.若
是数列
中的项，则记作
.
(1)若
，写出
的前5项；
(2)求证：集合
是空集；
(3)记集合
，
，求集合
.
为给定的正奇数，定义无穷数列，其中.若是数列中的项，则记作.(1)若
，写出的前5项；(2)求证：集合
是空集；(3)记集合
，，求集合.
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