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1 . 如果数列
对任意的
满足：
，则称数列为“
数列”.
（1）已知数列是“数列”，设
，求证：数列
是递增数列，并指出
与
的大小关系（不需要证明）；
（2）已知数列是首项为
，公差为
的等差数列，
是其前
项的和，若数列
是“数列”，求
的取值范围；
（3）已知数列是各项均为正数的“数列”，对于取相同的正整数时，比较
和
的大小，并说明理由.
对任意的满足：，则称数列为“数列”.（1）已知数列
是“数列”，设，求证：数列是递增数列，并指出与的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列
是首项为，公差为的等差数列，是其前项的和，若数列是“数列”，求的取值范围；（3）已知数列
是各项均为正数的“数列”，对于取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由.
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2 . 已知数列
满足：
，
（）．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）求证：
．
满足：，（）．（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）证明：
；（Ⅲ）求证：
．
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解题方法
3 . 已知数列满足：
.
(1)证明：
；
(2)求证：
.
满足：.(1)证明：
；(2)求证：
.
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11-12高三下·北京朝阳·阶段练习
4 . 已知各项均为非负整数的数列
，
，
，
，满足
，
．若存在最小的正整数
，使得
，则可定义变换
，变换将数列
变为
，
，，
，0，
，，
．设
，
，1，
．
（1）若数列
，1，1，3，0，0，试写出数列
；若数列
，0，0，0，0，试写出数列；
（2）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列
；
（3）若数列经过有限次变换，可变为数列．设
，
，2，，，求证
，其中
表示不超过
的最大整数．
，，，，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为，，，，0，，，．设，，1，．（1）若数列
，1，1，3，0，0，试写出数列；若数列，0，0，0，0，试写出数列；（2）证明存在数列
，经过有限次变换，可将数列变为数列；（3）若数列
经过有限次变换，可变为数列．设，，2，，，求证，其中表示不超过的最大整数．
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5 . 在直角坐标平面内，将函数
及
在第一象限内的图象分别记作
，
，点
在上.过
作平行于
轴的直线，与交于点
，再过点作平行于
轴的直线，与交于点
.
，请直接写出
的值；
(2)若
，求证：
是等比数列；
(3)若，求证：
.
及在第一象限内的图象分别记作，，点在上.过作平行于轴的直线，与交于点，再过点作平行于轴的直线，与交于点.
，请直接写出的值；(2)若
，求证：是等比数列；(3)若
，求证：.
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解题方法
6 . 混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用
来表示系统在第
个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态
满足
，
，其中
.
(1)当
时，若满足对
，有
，求
的通项公式；
(2)证明：当
时，中不存在连续的三项构成等比数列；
(3)若
，，记
，证明：
.
来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.(1)当
时，若满足对，有，求的通项公式；(2)证明：当
时，中不存在连续的三项构成等比数列；(3)若
，，记，证明：.
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解题方法
7 . 若正实数数列
满足
，则称是一个对数凸数列；若实数列
满足
，则称是一个凸数列.已知
是一个对数凸数列，
．
(1)证明：
；
(2)若
，证明：
；
(3)若
，
，求
的最大值．
满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，．(1)证明：
；(2)若
，证明：；(3)若
，，求的最大值．
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8 . 已知数列，
，函数
，其中
，
均为实数．
(1)若
，
，
，
，
，
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列
的前项和为
，求证：
．
(2)若
为奇函数，
，
，
且
，问：当
时，是否存在整数
，使得
成立．若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．（附：
，
）
，，函数，其中，均为实数．(1)若
，，，，，（ⅰ）求数列
的通项公式；（ⅱ）设数列
的前项和为，求证：．(2)若
为奇函数，，，且，问：当时，是否存在整数，使得成立．若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．（附：，）
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9 . 已知数列的各项均为正数，
，
．
(1)若
，证明：
；
(2)若
，证明：当
取得最大值时，
．
的各项均为正数，，．(1)若
，证明：；(2)若
，证明：当取得最大值时，．
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10 . 已知数列满足
，
．
(1)设
，证明：是等差数列；
(2)设数列
的前项和为，求．
满足，．(1)设
，证明：是等差数列；(2)设数列
的前项和为，求．
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2023-11-07更新
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2097次组卷
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3卷引用：甘肃省白银市白银区大成学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题
