解题方法
1 . 如图，等腰直角三角形
中，
，
，
是边
上一动点（不包括端点）.将
沿
折起，使得二面角
为直二面角，则三棱锥
的外接球体积的取值范围是_________ .
中，，，是边上一动点（不包括端点）.将沿折起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球体积的取值范围是
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2 . 已知正四面体的棱长为1，正四面体的外接球体积为
，其内切球体积为
，则
______ .
，其内切球体积为，则
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3 . 已知
是球
表面上的点，
平面
若球的体积为
，则
__________ .
是球表面上的点，平面若球的体积为，则
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4 . 某同学将一张圆心角为
的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知
，则制成的简易笔筒的体积为_______ 
．
的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知，则制成的简易笔筒的体积为．
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5 . 如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体
的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为
，则模型中九个球的体积和为__________ .
的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为
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6 . 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为___________ ．
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7 . 已知三棱锥
中，
，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为_______ ．
中，，则三棱锥外接球半径与内切球半径之比为
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8 . 降维类比和升维类比主要应用于立体几何的学习，将空间三维问题降为平面二维或者直线一维问题就是降维类比.平面几何中多边形的外接圆，即找到一点，使得它到多边形各个顶点的距离相等.这个点就是外接圆的圆心，距离就是外接圆的半径.若这样的点存在，则这个多边形有外接圆，若这样的点不存在，则这个多边形没有外接圆.事实上我们知道，三角形一定有外接圆，如果只求外接圆的半径，我们可通过正弦定理来求，我们也可以关注九年义教初中《几何》第三册第94页例2.的结论：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商.借助求三角形外接圆的方法解决问题：若等腰梯形的上下底边长分别为6和8，高为1，这个等腰梯形的外接圆半径为__________ ；轴截面是旋转体的重要载体，圆台的轴截面中包含了旋转体中的所有元素：高､母线长､底面圆的半径，通过研究其轴截面，可将空间问题转化为平面问题.观察图象，通过类比，我们可以找到一般圆台的外接球问题的研究方法，正棱台可以看作由圆台切割得到.研究问题：如图，正三棱台的高为1，上､下底面边长分别为
和
，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________ .
的上下底边长分别为6和8，高为1，这个等腰梯形的外接圆半径为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为
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9 . 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作．提出“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为
的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为______ ．
的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为
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10 . 若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，如图所示，已知该多面体棱
，则其外接球的表面积为__________ .
，则其外接球的表面积为
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