1 . 凸多面体的顶点数V,面数F,棱数E之间有很多有趣的性质.例如三棱锥的每个顶点处有3条棱,每条棱与2个顶点连接,故
;三棱锥每个面有3条棱,相邻两个面之间有一条公共棱,故
;凸多面体的欧拉公式:
等等.各个面都是全等的正多边形的凸几何体叫做正多面体.例如,四个面都是正三角形的三棱锥是正四面体,六个面都是正方形的四棱柱是正方体.由正多面体每个面的中心构成的几何体显然也是正多面体,把二者称为对偶正多面体.例如由正四面体四个面的中心构成正四面体,所以正四面体的对偶是本身.试根据以上信息解决以下问题.
(1)若正四面体和正方体的表面积相等,试比较二者体积的大小;
(2)足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成,求足球的棱数和顶点数.
(3)试求正多面体的个数,并证明;
(4)若所有正多面体的表面积都相等,求体积最大的正多面体是正多少面体?(给出结论即可).
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a098e3851f80b3d3c273d34416c4778e.png)
(1)若正四面体和正方体的表面积相等,试比较二者体积的大小;
(2)足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成,求足球的棱数和顶点数.
(3)试求正多面体的个数,并证明;
(4)若所有正多面体的表面积都相等,求体积最大的正多面体是正多少面体?(给出结论即可).
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2024高三·全国·专题练习
2 . 多面体的欧拉定理:简单多面体的顶点数
、棱数
与面数
满足
的数学关系.请运用欧拉定理解决问题:碳
具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性,是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定,形似足球,也叫足球烯,如图所示.碳
的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体,60个碳原子处于多面体的60个顶点位置,则32个面中正六边形面的个数是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c8e1c1322f0411a8d6c444b53f59a697.png)
A.22 | B.20 | C.18 | D.16 |
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3 . 多面体欧拉定理是指:若多面体的顶点数为
,面数为
,棱数为
,则满足
. 已知某
面体各面均为五边形,且经过每个顶点的棱数为3,则
( )
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f3cb8d72bb2e281b943b3b430138ef7.png)
A.6 | B.10 | C.12 | D.20 |
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2024-04-24更新
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223次组卷
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3卷引用:河南省青铜鸣大联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
河南省青铜鸣大联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题河南省濮阳市普通高中2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题(已下线)11.1.3 多面体与棱柱-【帮课堂】(人教B版2019必修第四册)
名校
4 . 约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体(包括13种阿基米德多面体、无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱)以外,所有由正多边形面组成的凸多面体.其中,由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体,台塔,又叫帐塔、平顶塔,是指在两个平行的多边形(其中一个的边数是另一个的两倍)之间加入三角形和四边形所组成的多面体.各个面为正多边形的台塔,包括正三、四、五角台塔.如图是所有棱长均为1的正三角台塔,则该台塔( )
A.共有15条棱 | B.表面积为![]() |
C.高为![]() | D.外接球的体积为![]() |
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2024-03-13更新
|
626次组卷
|
3卷引用:福建省福州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
名校
5 . 设
为多面体
的一个顶点,定义多面体
在
处的离散曲率为
其中![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a5f7f18eb4498ca06703a87dc4d465ae.png)
,为多面体
的所有与点
相邻的顶点,且平面
,
,…,
,
遍历多面体
的所有以
为公共点的面,如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体),若它们在各顶点处的离散曲率分别是a,b,c,d,则a,b,c,d的大小关系是( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/1/2/e98cc65e-0d77-45b6-a534-cf9dd345c26d.png?resizew=504)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e2bceda2d79303cb3f2b606ae4c70934.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a5f7f18eb4498ca06703a87dc4d465ae.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/48679b14a5f7c97454a12eb6c215c938.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db59863ffec5fa450ab8342fd8675c2e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a9d7f18c3c9dae7e6d4f2e96281289f6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f733e19f18ab01a3c022331805ed58a6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/1/2/e98cc65e-0d77-45b6-a534-cf9dd345c26d.png?resizew=504)
A.![]() | B.![]() |
C.![]() | D.![]() |
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2023-12-30更新
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557次组卷
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6卷引用:第02讲 8.1基本立体图形(第2课时 )(2)-【帮课堂】(人教A版2019必修第二册)
(已下线)第02讲 8.1基本立体图形(第2课时 )(2)-【帮课堂】(人教A版2019必修第二册)(已下线)8.1基本立体图形【第三练】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路河南省南阳市第一中学校2024届高三上学期12月月考数学试题河南省漯河市高级中学2024届高三上学期1月月考数学试题广东省广州市执信中学2024届高三上学期大湾区数学冲刺卷(一)(已下线)大招1 四面体的特殊模型
解题方法
6 . 如图,在棱长为6的正方体
中,点G为线段
上的一个动点,则下列说法正确的有( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d8772aa893a9c1d40f714cb25701701.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/7/7/315424c7-ea8e-4c62-ba0e-82e1f9954d43.png?resizew=148)
A.线段![]() ![]() |
B.![]() ![]() |
C.点G在线段![]() ![]() ![]() |
D.![]() ![]() |
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7 . 如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形,每个顶点聚集的棱的条数都相等,这个多面体叫做正多面体.有趣的是只有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种正多面体,现将它们的体积依次记为,
.
(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个,假设制作每个模型的外壳用料(即表面积)均等于
,分别求出
和
的值;并猜想
与
的大小关系(猜想不需证明)
(2)多面体的欧拉定理:简单多面体的面数
、棱数
与顶点数
满足:
.已知正多面体都是简单多面体,设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为
,每个面的边数为
,求
满足的关系式;并尝试据此说明正多面体仅有五种.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e5142a5f4db2068493b7d414806f24e5.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/7/11/b1197459-0825-43ff-858f-f8721faa0bc7.png?resizew=548)
(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个,假设制作每个模型的外壳用料(即表面积)均等于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7bf956f7cef485a7a509fd8229d7eb48.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/789ce79353afd7894c4a912815e370f3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c0af6f28b405604706431065a6620423.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fee8e86607a073a323a51640d0e40532.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1104314b67a6607d116064c8dd1a0108.png)
(2)多面体的欧拉定理:简单多面体的面数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a098e3851f80b3d3c273d34416c4778e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2442dc47b9650e00a0cef190e4cc5e5f.png)
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8 . 数学家欧拉发现简单凸多面体的顶点数V、棱数E及面数F之间有固定的关系,即著名的欧拉公式:
.如图所示为上世纪八十年代科学家首次发现的碳60的电子显微镜图,它是由五边形和六边形面构成的多面体,共有60个顶点,每个顶点均为碳原子,且每个顶点引出三条棱,形似足球.根据以上信息知,碳60的所有面中六边形的个数是( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/4/26/2966617169068032/2968880114540544/STEM/16a45c94-a577-43f3-88c1-7146ba666c23.png?resizew=127)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c91c4472879d107d42da5b07fab777e.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/4/26/2966617169068032/2968880114540544/STEM/16a45c94-a577-43f3-88c1-7146ba666c23.png?resizew=127)
A.12 | B.20 | C.32 | D.40 |
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2022-04-29更新
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387次组卷
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2卷引用:山东省菏泽市2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题(A)
9 . 山西五台山佛光寺大殿是庑殿顶建筑的典型代表.庑殿顶四面斜坡,有一条正脊和四条斜脊,又叫五脊殿.《九章算术》把这种底面为矩形,顶部为一条棱的五面体叫做“刍甍”,并给出了其体积公式:
×(2×下袤+上袤)×广×高(广:东西方向长度;袤:南北方向长度).已知一刍甍状庑殿顶,南北长18m,东西长8m,正脊长12m,斜脊长
m,则其体积为( ).
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/31/94edb338-ae10-43af-8ac5-1c9452729455.png?resizew=298)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5e6486784415f3537c9a13556c05d893.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4bcf43ba416adeb723cebe4aee6bbe34.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/31/94edb338-ae10-43af-8ac5-1c9452729455.png?resizew=298)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2022-03-05更新
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1063次组卷
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5卷引用:重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高一下学期6月质量检测数学试题
10 . 中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为
.则该半正多面体共有______ 个面,其棱长为_____ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d1f190b17530d81d927c358ac84757a4.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/6/20/231c80b5-3be1-4454-8d6f-5376d4233015.png?resizew=394)
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2021-08-26更新
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274次组卷
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2卷引用:第六章 立体几何初步(B卷·提升能力) -2021-2022学年高一数学北师大版2019必修第二册