1 . 过棱长为a的正方体不在一个面上的两条平行棱的中点，作一条直线，把正方体绕直线旋转90°，求原正方体与旋转后的正方体的公共部分的体积.
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2 . 求抛物线弧
绕
轴旋转轴半周所得的旋转抛物面的体积．
绕轴旋转轴半周所得的旋转抛物面的体积．
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3 . 求证：柱体的体积等于它的底面积
和高
的积．
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4 . 单位正方体
中，沿面
和
切去它的两角，再沿面
和
把它切开，求最后剩余部分的体积.
中，沿面和切去它的两角，再沿面和把它切开，求最后剩余部分的体积.
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2024高三·全国·专题练习
5 . 如图，直三棱柱
的体积为4，
的面积为
．设D为
的中点，
，平面
平面
，则二面角
的正弦值为_______ ．
的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 材料1．类比是获取数学知识的重要思想之一，很多优美的数学结论就是利用类比思想获得的．例如：若
，
，则
，当且仅当
时，取等号，我们称为二元均值不等式．类比二元均值不等式得到三元均值不等式：，，
，则
，当且仅当
时，取等号．我们经常用它们求相关代数式或几何问题的最值，某同学做下面几何问题就是用三元均值不等式圆满完成解答的．
题：将边长为
的正方形硬纸片（如图1）的四个角裁去四个相同的小正方形后，折成如图2的无盖长方体小纸盒，求纸盒容积的最大值．
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名校
解题方法
7 . 如图，已知棱长为2的正方体，点
是棱
的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（ ）
，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（ ）| A．截面的形状可能是正三角形 |
| B．截面的形状可能是直角梯形 |
| C．此截面可以将正方体体积分成1：3 |
| D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值 |
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8 . 冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知
分别是上、下底面圆的圆心，
，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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9 . 木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设法让桶装水更多.如图，棱长为2的正方体容器，在顶点
和棱
的中点
处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，以
为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积
（ ）
和棱的中点处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，以为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积（ ） | A．4 | B． | C．6 | D． |
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解题方法
10 . 一圆柱侧面展开图是边长为8的正方形，则该圆柱的体积为______ ．
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