1 . 如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，其轴截面是正三角形，点是上一点，，点、是底面圆上不同的两点，是的中点，直线与圆锥底面所成角满足.

(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.

2 . 如图，在正三棱柱中，点D为棱BC的中点，，．

(1)证明：；
(2)若点E为棱AB上一点，且满足______，求二面角的正弦值．
从①；②这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

3 . 如图，在圆锥中，的内接为等边三角形，，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆.

（1）证明：；
（2）点是底面上的一个动点，，求二面角余弦值的最小值.

4 . 正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．

（1）求新多面体的体积；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求新多面体为几面体？并证明．

5 . 如图，，分别是圆台上下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）.

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值.