真题
名校
1 . 设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l
平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________ .
①
②
③
④
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l
平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是
①
②③④
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2020-07-08更新
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36775次组卷
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97卷引用：2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）（已下线）专题16 常用逻辑用语-2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅱ专版）（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（已下线）专题04 立体几何——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（已下线）专题04 立体几何——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（已下线）易错点01 集合与常用逻辑用语-备战2021年新高考数学一轮复习易错题（已下线）专题17+常用逻辑用语-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化（已下线）易错点10 立体几何-备战2021年新高考数学一轮复习易错题（已下线）专题16 常用逻辑用语-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅱ专版）（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语——三年（2018-2020）高考真题文科数学分项汇编（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语-三年（2018-2020）高考真题数学（理）分项汇编（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语-五年（2016-2020）高考数学（文）真题分项（已下线）专题05 立体几何（选择题、填空题）——三年（2018-2020）高考真题文科数学分项汇编（已下线）专题05 立体几何（选择题、填空题）——三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）考点22 点线面的判断与证明-2021年高考数学三年真题与两年模拟考点分类解读（新高考地区专用）（已下线）第02练 常用逻辑用语-2021年高考数学（理）一轮复习小题必刷（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项（已下线）考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点一遍过（已下线）考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）考点37 直线、平面平行的判定与性质（考点专练）-备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题（已下线）专题02 常用逻辑用语-十年（2011-2020）高考真题数学分项（已下线）考点02 常用逻辑用语-2021年新高考数学一轮复习考点扫描（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）考点31 直线、平面垂直的判定及其性质-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点一遍过（已下线）考点29 空间点、直线、平面之间的位置关系-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点一遍过（已下线）考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）考点32 直线、平面垂直的判定及其性质-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）第30练 空间点、线、面的位置关系-2021年高考数学（理）一轮复习小题必刷（已下线）热点02 集合与常用逻辑用语-2021年高考数学（理）【热点·重点·难点】专练吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（理）试题（已下线）热点08 立体几何-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）（已下线）考点25 空间点、线、面的位置关系-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过湖南省长沙市长沙县第九中学2020-2021学年高二上学期第三次月考数学试题（已下线）专题02 常用逻辑用语（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（新高考版）（已下线）专题02 常用逻辑用语（讲）-2021年高考数学二轮复习讲练测（新高考版）（已下线）专题02 常用逻辑用语（理科专用）（讲）-2021年高考数学二轮复习讲练测（文理通用）（已下线）专题02 常用逻辑用语（理科专用）（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（文理通用）（已下线）重组卷05-冲刺2021年高考数学（理）之精选真题+模拟重组卷（新课标卷）（已下线）预测01 集合与常用逻辑用语-【临门一脚】2021年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）【学科网名师堂】江西省宜春市第九中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）预测02 常用逻辑用语-【临门一脚】2021年高考数学（理）三轮冲刺过关（已下线）解密06 空间点、线、面的位置关系（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（已下线）专题08 立体几何-备战2021年高考数学（理）纠错笔记（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语-备战2021年高考数学（文）纠错笔记（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语-备战2021年高考数学（理）纠错笔记（已下线）数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（一）（新高考地区专用）【学科网名师堂】（5月15日）青海省西宁市普通高中五校2020-2021学年高二上学期期末联考数学（文）试题（已下线）解密14 空间中的平行与垂直（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练（已下线）解密02 常用逻辑用语（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练（已下线）押第16题 立体几何综合-备战2021年高考数学（文）临考题号押题（全国卷2）（已下线）押第16题 立体几何综合-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（全国卷2）（已下线）考点突破08 立体几何初步-备战2022年高考数学一轮复习培优提升精炼（新高考地区专用）（已下线）考点02线面平行与垂直-2022年高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（已下线）考点31 直线、平面平行的判定及其性质-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）（已下线）第02讲 常用逻辑用语 （讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）山西省运城市新康国际实验学校2020-2021学年高二下学期开学摸底数学试题（已下线）模块综合练01 集合与常用逻辑用语-2022年高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（已下线）考点02 命题及其关系、充分与必要条件-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点帮（已下线）考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点帮（已下线）考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语-五年（2017-2021）高考数学真题分项汇编（文科+理科）（已下线）专题11 立体几何-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）新疆巴楚县第一中学2022届高三９月月考数学（理）试题（已下线）专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件（练）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）专题02常用逻辑用语 -2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文理通用）新疆乌鲁木齐市第二十中学2022届高三上学期第一次月考数学试题（已下线）考点10 立体几何与空间向量-备战2022年高考数学学霸纠错 （新高考专用）（已下线）专题07 常用逻辑用语-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（已下线）2020年高考全国2数学文高考真题变式题16-20题（已下线）2020年高考全国2数学理高考真题变式题16-20题（已下线）专题07立体几何线面位置关系（测）（文科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）内蒙古自治区阿拉善盟第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学（文）试题吉林省长春外国语学校2021-2022学年高三下学期期初考试数学（文）试题（已下线）易错点02 常用逻辑用语-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）（已下线）专题14 空间向量与立体几何小题大做-备战2022年高考数学冲刺横向强化精练精讲（已下线）专题15 空间向量与立体几何小题大做-备战2022年高考数学冲刺横向强化精练精讲（新高考专用）（已下线）专题2 常用逻辑用语-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】（已下线）押全国卷（理科）第3，14题 常用逻辑用语与平面向量-备战2022年高考数学（理）临考题号押题（全国卷）（已下线）押全国卷（文科）第8，16题 立体几何小题-备战2022年高考数学（文）临考题号押题（全国卷）（已下线）押全国卷（理科）第8，16题 立体几何小题-备战2022年高考数学（理）临考题号押题（全国卷）（已下线）考向02 常用逻辑用语（重点）（已下线）专题19 立体几何多选、填空题（已下线）专题16 立体几何选填题-2（已下线）第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）（已下线）重组卷05全国甲乙卷真题5年分类汇编《常用逻辑用语》全国甲乙卷真题5年分类汇编《立体几何》选填全国甲乙卷5年真题分类汇编《立体几何》选填题四川省自贡市田家炳中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题内蒙古呼伦贝尔市满洲里远方中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题内蒙古呼伦贝尔市满洲里远方中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试文科数学试题新疆喀什地区疏勒县实验学校2021-2022学年高二上学期期末数学试题（已下线）专题06 立体几何 第一讲 立体几何中的证明问题（解密讲义）（已下线）6.2 空间点、直线、平面的位置关系（高考真题素材之十年高考）（已下线）专题15 立体几何多选、填空题（理科）
解题方法
2 . 如图，在正方体
中，
是棱
的中点，记平面
与平面
的交线为
，平面与平面
的交线为
，若直线
分别与
所成的角为
，则
__________ ，
__________ .
中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则
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2023高一·全国·专题练习
3 . 平面的基本性质
（1）基本性质
（2）基本事实1与2的推论
（1）基本性质
基本 事实 | 文字语言 | 图形语言 | 符号语言 | 作用 |
基本 事实 1 | 过 |
| A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α | 确定平面；判定点线共面 |
基本 事实 2 | 如果一条直线上的 |
| A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α | 确定直线在平面内；判定点在平面内 |
基本 事实 3 | 如果两个不重合的平面有一个 |
| P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l | 判定两平面相交；判定点在直线上 |
推论 | 文字语言 | 图形语言 | 符号语言 |
推论1 | 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个 |  | A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α |
推论2 | 经过 |  | a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α |
推论3 | 经过 |  | a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α |
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名校
解题方法
4 . 如图，正方体
的棱长为1，P为
的中点，M在侧面
上，若
，则
面积的最小值为___________ .
的棱长为1，P为的中点，M在侧面上，若，则面积的最小值为
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2022-10-24更新
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1185次组卷
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6卷引用：山东省滨州邹平市黄山中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题
山东省滨州邹平市黄山中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题江西省吉安市第一中学2022-2023学年高三上学期11月期中考试理科数学试题上海市晋元高级中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题江西省宁冈中学2023届高三一模数学（文）试题江西省宁冈中学2023届高三一模数学（理）试题（已下线）第三章 空间轨迹问题 专题六 立体几何轨迹中的范围、最值问题 微点2 立体几何轨迹中的范围、最值问题综合训练【培优版】
10-11高二下·重庆·阶段练习
名校
5 . 两个平面可以将空间分成________ 个部分．
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2023-09-28更新
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523次组卷
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19卷引用：2010-2011年重庆市杨家坪中学高二下学期第一次月考数学理卷
（已下线）2010-2011年重庆市杨家坪中学高二下学期第一次月考数学理卷上海市控江中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（已下线）8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（精练）-2021-2022学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）广东省北京师范大学珠海分校附属外国语学校2021-2022学年高一下学期期中数学试题（已下线）8.4平面（练案）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)上海市市西中学2022-2023学年高二上学期开学考数学试题（已下线）第10章 空间直线与平面（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020必修第三册）（已下线）专题01空间直线与平面（7个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）（已下线）上海高二上学期期中【常考60题考点专练】（1）（已下线）夯实基础50题（沪教版2020必修三全部内容）（2）（已下线）第01讲 空间直线与平面（核心考点讲与练）（2）（已下线）13.2.1平面基本性质（备作业）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（苏教版2019必修第二册）原卷版苏教版（2019）必修第二册课本习题第13章复习题上海市新中高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）第10章 空间直线与平面（单元提升卷）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）第04讲 空间点﹑直线﹑平面之间的位置关系-《知识解读·题型专练》上海市杨浦高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷上海市闵行中学2024届高三下学期4月月考暨二模模拟考试数学试卷（已下线）8.4.1 平 面【第一练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
6 . 以下说法错误的是__________ .
①空间中三点确定一个平面
②一条直线及一个点确定一个平面
③两条直线确定一个平面
④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等.
①空间中三点确定一个平面
②一条直线及一个点确定一个平面
③两条直线确定一个平面
④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等.
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2023-06-14更新
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531次组卷
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3卷引用：上海市行知中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题
上海市行知中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题上海市进才中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）第一章 点线面位置关系 专题五 共面问题 微点2 立体几何共面问题的解法综合训练【基础版】
7 . 下列事件：
①空间任意三点可以确定一个平面；
②367个人中至少有两个人的生日在同一天；
③6个人的生日在不同月份；
④掷两次骰子，点数和不小于2；
⑤两条异面直线所成角为钝角.
其中，______ 是不确定事件，______ 是必然事件，______ 是不可能事件（填写序号）.
①空间任意三点可以确定一个平面；
②367个人中至少有两个人的生日在同一天；
③6个人的生日在不同月份；
④掷两次骰子，点数和不小于2；
⑤两条异面直线所成角为钝角.
其中，
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2023-02-06更新
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472次组卷
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7卷引用：沪教版(2020) 必修第三册 高效课堂 第十二章 单元测试
沪教版(2020) 必修第三册 高效课堂 第十二章 单元测试（已下线）10.1.1 有限样本空间与随机事件+10.1.2 事件的关系和运算 (精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（已下线）10.1 随机事件与概率（精讲）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）10.1.1有限样本空间与随机事件（分层作业）（已下线）10.1.1-10.1.2 有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算-《考点·题型·技巧》（已下线）10.1.1有限样本空间与随机事件（课件+练习）-【超级课堂】（已下线）10.1.1?有限样本空间与随机事件——课堂例题
8 . 已知
，
，
，
是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______ ．（写序号）
，，，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是
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名校
9 . 已知
，
，
，
，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为______ .
，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为
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2023-10-22更新
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337次组卷
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7卷引用：上海市进才中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
上海市进才中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）专题15 立体几何中点线面的位置关系【练】（已下线）第一篇“必拿”选择前5填空前2 专题15 立体几何中点线面的位置关系【练】（已下线）专题16 平面-《重难点题型·高分突破》（人教A版2019必修第二册）（已下线）8.4.1 平 面【第一练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路（已下线）专题17 平面的基本性质-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）（已下线）专题04 空间点﹑直线﹑平面之间的位置关系-《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第二册）
10 . 已知
，
，
，则与
的位置关系是______ .
，，，则与的位置关系是
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2023-01-12更新
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335次组卷
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4卷引用：上海市高桥中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题
上海市高桥中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）8.4空间点、直线、平面之间的位置关系上海市宝山区海滨中学2023-2024学年高二上学期10月学业质量检测数学试题（已下线）第10章 空间直线与平面（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）
