1 . 如图甲，在菱形与等腰直角中，，，，现将沿旋转，点旋转到点，如图乙，若．

(1)求证：；
(2)求二面角平面角的余弦的绝对值，并据此求出平面在平面上投影的面积．

2 . 如图，，O分别是圆柱上、下底面圆的圆心，该圆柱的轴截面是边长为2的正方形ABCD，P，Q分别是其上、下底面圆周上的动点，已知P，Q位于轴截面ABCD的异侧，且．

(1)当A，P，，Q四点共面时，求；
(2)当时，求二面角的正弦值．

3 . 如图，将等腰直角沿斜边旋转，使得到达的位置，且.

（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
（3）若在棱上存在点，使得，，在棱上存在点，使得，且，求的取值范围.

4 . 某建筑物的上层框图如图所示，其上下底面是平行的两正方形，上下底面的中心连线垂直于上下地面，且各侧棱均相等（即为正棱台），经测量得知，侧棱长为．

（1）求证；
（2）求二面角的余弦值．