1 . 已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4.
（1）求动圆圆心M的轨迹方程C；
（2）设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交手不同两点，.若，求证：直线l过定点.

2 . 已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点.

3 . 已知点A，B是抛物线上关于轴对称的两点，点E是抛物线C的准线与x轴的交点.
（1）若是面积为4的直角三角形，求抛物线C的方程；
（2）若直线BE与抛物线C交于另一点D，证明：直线AD过定点.

4 . 已知抛物线上一点到焦点的距离为
（1）求的值.
（2）过焦点作直线交抛物线于两点，交轴于点，且,证明:为定值.

5 . 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值.
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设P(x₀,y₀)（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别与曲线C₁相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.

6 . 如下图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，．

（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离；
（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数．

7 . 如图所示，已知点是抛物线上一定点，直线、的斜率互为相反数，且与抛物线另交于两个不同的点.

（1）求点到其准线的距离；
（2）求证：直线的斜率为定值.

8 . 已知动点到点的距离比到直线的距离小，动点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于、两个不同点，且，证明：直线经过一个定点.

9 . 已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.
（1）求的方程；   
（2）若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点.

10 . 已知抛物线过点，且焦点为，直线与抛物线相交于、两点．
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）若直线经过抛物线的焦点，当线段的长等于5时，求直线方程．
（3）若，证明直线必过一定点，并求出该定点．