1 . 如图，已知椭圆的长轴，长为4，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线交椭圆于、两点，直线，的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线，直线，分别与相交于、两点，设为线段的中点，求证：.

2 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，为椭圆上不同的两点，且以为直径的圆过坐标原点.是否存在定圆与动直线相切？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由.

3 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，若，,的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若,分别为椭圆上的两点，且,求证：为定值，并求出该定值.

4 . 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

5 . 椭圆的左、右焦点分别为，顶点到的距离为4，直线上存在点，使得为底角是的等腰三角形，则此椭圆方程为__________．

6 . 已知椭圆：的离心率为，为上除长轴顶点外的一动点，以为圆心，为半径作圆，过原点作圆的两条切线，，为切点，当为短轴顶点时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点作的垂线交直线于点，判断直线与椭圆的位置关系．

7 . 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的半焦距为c,且过点,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为.

(1)求椭圆E的方程;
(2)A为椭圆E上异于顶点的一点,点P满足,过点P的直线交椭圆E于B,C两点,且,若直线OA,OB的斜率之积为,求证:.