1 . 设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

2 . 在直角坐标系xOy中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是，设动点P的轨迹为E．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若，求证：为定值．

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）.设的外心为，求证为定值.

4 . 已知平面内点到点的距离和到直线的距离之比为，若动点P的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）过F的直线与C交于A，B两点，点M的坐标为设O为坐标原点.证明：．

5 . 已知和是平面直角坐标系中两个定点，过动点的直线和的斜率分别为，，且.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作相互垂直的两条直线与轨迹交于，两点，求证：直线过定点.

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点的椭圆上的点．
(1)求椭圆的标准的方程；
(2)若为椭圆上异于顶点的任意一点，、分别是椭圆的上顶点和右顶点，直线交轴于，直线交轴于，证明为定值．

7 . 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.

（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过的右焦点作斜率为的直线与交于，两点，直线与轴交于点，为线段的中点，过点作直线于点.证明：，，三点共线.

8 . 设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

9 . 已知为坐标原点，椭圆的焦距为，直线截圆与椭圆所得的弦长之比为，圆、椭圆与轴正半轴的交点分别为，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线，分别交轴于点，，证明：.

10 . 已知椭圆C：的焦距为2，以椭圆短轴为直径的圆经过点，椭圆的右顶点为A．
求椭圆C的方程；
过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的交点P，Q，记直线AP，AQ的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论．