1 . 椭圆的离心率为且四个顶点构成面积为的菱形.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，记椭圆的右顶点为，直线，与直线交于，两点，求证:以为直径的圆恒过点.

2 . 已知点、分别在轴、轴上，，．
（1）求的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线、，与曲线分别交于、（不同于点）两点，求证：直线过定点．

3 . 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，，分别是椭圆的上、下顶点，若四边形的面积为，的面积为1．
（1）求椭圆的方程：
（2）设平行于的动直线与四边形的对边，分别交于点，，与椭圆交于点，（在直线上从上到下顺次分别为，，，），求证：．

4 . 已知两点A（﹣2，0）、B（2，0），动点P满足．
（1）求动点P的轨迹Ω的方程；
（2）若椭圆上点（x₀，y₀）处的切线方程是：
①过直线l：x＝4上一点M引Ω的两条切线，切点分别是P、Q，求证：直线PQ恒过定点N；
②是否存在实数λ，使得|PN|+|QN|＝λ|PN|•|QN|？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

5 . 已知椭圆的离心率，短轴长为2，、是椭圆上、下两个顶点，在椭圆上且非顶点，直线交轴于点，，是椭圆的左，右顶点，直线，交于点．

（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线与轴平行．

6 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

7 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆E的标准方程，
（2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值.

8 . 已知椭圆：的离心率为.点在椭圆上，点，，的面积为，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：的面积是定值，并求此定值.

9 . 已知分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF₁⊥F₁F₂时，|PF₂|＝2|PF₁|．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线NM′过定点．

10 . 在平面直角坐标系中，四个点，，，中有3个点在椭圆：上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于、两点，设直线，的斜率分别为，，证明：存在常数使得，并求出的值.