1 . 已知分别是椭圆 的长轴与短轴的一个端点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上的一点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是圆上任一点，过点作椭圆的切线，切点分别为，求证：.

2 . 已知椭圆过点，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为，点.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知点，是椭圆上的两点.
（ⅰ）若，且为等边三角形，求的面积；
（ⅱ）若，证明：不可能为等边三角形.

3 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，是上一点，，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相较于不同两点，时，在线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线.

4 . 已知椭圆的方程为，左、右焦点分别为，，焦距为，点是椭圆上一点，满足，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.

5 . 已知曲线的方程是，且曲线过点两点，为坐标原点.
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上两点，且，求证：直线恒与一个定圆相切.

6 . 设、是椭圆上的两点，已知向量，，若且椭圆的离心率，短轴长为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；
(3)试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

7 . 如图所示，已知、、是椭圆上三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，.
(1)求点的坐标及椭圆的方程；
(2)若椭圆上存在两点、，使得的平分线总垂直于轴，试判断向量与是否共线，并给出证明．