1 . 求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆.

2 . 已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为.
(1)若为直角三角形，求的离心率；
(2)若，，点，是椭圆上不同两点，试判断“”是“，关于轴对称”的什么条件？并说明理由；
(3)若，，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，试问的周长是否为定值？请说明理由.

3 . 中心在原点的椭圆的两个焦点是、，且、与椭圆短轴一个顶点构成边长为2的正三角形．直线与椭圆相切于点，过作直线的垂线与轴交于，直线与轴交于，点关于轴的对称点是．
(1)求椭圆的方程；
(2)求；
(3)求证：、、、、、六点在同一个圆上．

4 . 历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题：

（1）求椭圆C的离心率；
（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，求椭圆C的方程．