1 . 设A,B是椭圆上的两点，为坐标原点，向量，向量．
(1)设,证明:点M在椭圆上;
(2)若点P、Q为椭圆上两点，且∥试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请证明理由．

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.
（1）求直线的斜率的取值范围；
（2）若点在椭圆上，且三点共线，求证：点与点的横坐标相同.

3 . 如图，已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为．设直线与椭圆相交于两点，点关于轴对称点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若以线段为直径的圆过坐标原点，求直线的方程；
（3）试问：当变化时，直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

4 . 已知点，动点、分别在、轴上运动，满足，为动点，并且满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线（不与轴垂直）与曲线交于两点，设点，与的夹角为，求证：．

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)若点在椭圆上，且三点共线，求证：点与点的横坐标相同.

6 . 设，且
（1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图像有两个交点；
（2）设f(x)与g(x)的图像交点A、B在x轴上的射影为，求的取值范围.

7 . 椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈[，]，求椭圆长轴长的取值范围．

8 .        
点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.
（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；
（II）证明:构成等比数列.

9 . 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．