1 . 已知双曲线，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，记．
(1)求的通项公式；
(2)过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，记，求证：．

2 . 已知点为双曲线上的动点.
(1)判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由；
(2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
（ii）将双曲线的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若为双曲线上一点，直线：与的两条渐近线分别交于点，则为线段的中点.

3 . 已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；
(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.