名校
解题方法
1 . 随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照
，
，
，
，
，
分组，并整理得到如下频率分布直方图：
根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：
(1)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；
(2)从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望
；
(3)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值
与
的大小，及方差
与
的大小．（只需写出结论）
，，，，，分组，并整理得到如下频率分布直方图： 根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级：
| 学习时间：（分钟/天） |  |  |  |
| 等级 | 一般 | 爱好 | 痴迷 |
(1)从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；
(2)从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望
；(3)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值
与的大小，及方差与的大小．（只需写出结论）
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2023-11-15更新
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454次组卷
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2卷引用：北京市第八中学2024届高三上学期期中练习数学试题
名校
2 . 手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在
内且未使用手机支付的概率为（ ）.
内且未使用手机支付的概率为（ ）.顾客年龄（岁） | 20岁以下 |
|
|
|
|
| 70岁及以上 |
手机支付人数 | 3 | 12 | 14 | 13 | 27 | 9 | 0 |
其他支付方式人数 | 0 | 0 | 2 | 9 | 5 | 5 | 1 |
A． | B． | C． | D． |
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名校
3 . 2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条､段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园､积水潭､牛街､草桥､新发地､新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的
名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
(1)在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
(2)在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为
，求随机变量的分布列以及数学期望；
(3)为了研究各站客流量的相关情况，用
表示所有在积水潭站上下车的乘客的上､下车情况，“
”表示上车，“
”表示下车.相应地，用
，
分别表示在牛街，草桥站上､下车情况，直接写出方差
，
，
大小关系.
名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：| 下车站 上车站 | 牡丹园 | 积水潭 | 牛街 | 草桥 | 新发地 | 新宫 | 合计 |
| 牡丹园 | /// | 5 | 6 | 4 | 2 | 7 | 24 |
| 积水潭 | 12 | /// | 20 | 13 | 7 | 8 | 60 |
| 牛街 | 5 | 7 | /// | 3 | 8 | 1 | 24 |
| 草桥 | 13 | 9 | 9 | /// | 1 | 6 | 38 |
| 新发地 | 4 | 10 | 16 | 2 | /// | 3 | 35 |
| 新宫 | 2 | 5 | 5 | 4 | 3 | /// | 19 |
| 合计 | 36 | 36 | 56 | 26 | 21 | 25 | 200 |
(2)在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为
，求随机变量的分布列以及数学期望；(3)为了研究各站客流量的相关情况，用
表示所有在积水潭站上下车的乘客的上､下车情况，“”表示上车，“”表示下车.相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上､下车情况，直接写出方差，，大小关系.
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2022-04-07更新
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1719次组卷
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10卷引用：北京市首都师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题
北京市首都师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题北京市昌平区第二中学2022-2023学年高二下学期期中数学模拟练习试题北京市西城区2022届高三一模数学试题北京市第十三中学2023届高三上学期开学考试数学测试题北京市第五十中学2023届高三上学期10月月考数学试题北京卷专题26计数原理与概率与统计（解答题）北京市延庆区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷北京高二专题12概率与统计（第二部分）（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题9-12题（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题16-18题
4 . 某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按
，
，
，
，
分组，得到频率分布直方图如下，假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立.
（1）写出频率分布直方图（甲）中的
的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为
，
，试比较与的大小；（只需写出结论）
（2）用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率.
，，，，分组，得到频率分布直方图如下，假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立.（1）写出频率分布直方图（甲）中的
的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（2）用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率.
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2021-09-06更新
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636次组卷
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7卷引用：北京市一零一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题
北京市一零一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题广东省梅州市兴宁市齐昌中学、五华县高级中学2021-2022学年高二上学期10月联考数学试题（已下线）10.3 频率与概率（精练）-2021-2022学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）10.3.1频率的稳定性（练案）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)（已下线）专题10.5 频率与概率（重难点题型精讲）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）陕西省安康市2023-2024学年高二上学期开学摸底考试数学试题河北省石家庄师大实验2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题
名校
解题方法
5 . 空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如下表：
现分别从甲、乙两个城市
月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取
天的数据，记录如下：
（1）估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率；
（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；
（3）记甲城市这天空气质量指数的方差为
．从甲城市月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为，若
，与原有的天的数据构成新样本的方差记为
；若
，与原有的天的数据构成新样本的方差记为
，试比较、、的大小．（结论不要求证明）
空气质量指数 |
|
|
|
|
|
|
空气质量类别 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取天的数据，记录如下：甲 |
|
|
|
|
|
|
乙 |
|
|
|
|
|
|
月份某一天空气质量类别为良的概率；（2）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；
（3）记甲城市这
天空气质量指数的方差为．从甲城市月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为，若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为；若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为，试比较、、的大小．（结论不要求证明）
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2021-01-23更新
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839次组卷
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3卷引用：北京市陈经纶中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题
名校
6 . 全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费．某市为了解居民外出就餐有剩余时是否打包，进行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的居民进行简单随机抽样，将获得的数据按不同年龄段整理如下表：
假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立．
（1）分别估计该市男性居民外出就餐有剩余时打包的概率，该市女性居民外出就餐有剩余时间打包的概率．
（2）从该市男性居民中随机抽取1人，女性居民中随机抽取1人，记这2人中恰有人外出就餐有剩余时打包，求的分布列．
（3）假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时打包的频率相等，用“
”表示第
段居民外出就餐有剩余时打包，“
”表示第段居民外出就餐有剩余时不打包
，写出方差，，，
的大小关系（只需写出结论）
| 男性 | 女性 | |||
| 打包 | 不打包 | 打包 | 不打包 | |
| 第1段 | 250 | 650 | 450 | 650 |
| 第2段 | 300 | 600 | 550 | 550 |
| 第3段 | 600 | 400 | 750 | 250 |
| 第4段 | 850 | 350 | 650 | 150 |
（1）分别估计该市男性居民外出就餐有剩余时打包的概率，该市女性居民外出就餐有剩余时间打包的概率．
（2）从该市男性居民中随机抽取1人，女性居民中随机抽取1人，记这2人中恰有
人外出就餐有剩余时打包，求的分布列．（3）假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时打包的频率相等，用“
”表示第段居民外出就餐有剩余时打包，“”表示第段居民外出就餐有剩余时不打包，写出方差，，，的大小关系（只需写出结论）
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2021-01-20更新
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490次组卷
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2卷引用：北京市第十三中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题
名校
解题方法
7 . 自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在
且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在
使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在
的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
| 20以下 | | | | |  | 70以上 | |
| 使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
| 未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
且未使用自由购的概率；（Ⅱ）从被抽取的年龄在
使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
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2020-04-08更新
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1906次组卷
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16卷引用：北京二十七中2020届高三上学期期中数学试题
北京二十七中2020届高三上学期期中数学试题2020届北京市育英中学高三3月月考数学试题（已下线）2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1试题北京市2020届高考数学预测卷（已下线）专题18 统计综合-2020年高考数学母题题源解密（北京专版）北京市汇文中学2023届高三校模数学试题北京汇文中学2023届高三下学期3月月考数学试卷北京市怀柔区第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题福建省泉州第十六中学2019-2020学年高二5月春季线上教学摸底测试数学试题内蒙古北京八中乌兰察布分校2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题人教A版(2019) 选修第三册 必杀技 第7.3节综合训练北师大版(2019) 选修第一册 必杀技 第六章 §3 综合训练人教A版(2019) 选修第三册 过关斩将 第七章 7.4.2 超几何分布（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题9-12题（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题16-18题山东省潍坊市昌邑市第一中学2024届高三上学期模拟预测数学试题
真题
名校
8 . 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
| A．134石 | B．169石 | C．338石 | D．1365石 |
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2019-01-30更新
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5688次组卷
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69卷引用：北京市北京师范大学第二附属中学2022届高三上学期期中考试数学试题
北京市北京师范大学第二附属中学2022届高三上学期期中考试数学试题河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中考试（理科）数学试题四川省南充市顺庆区南充高级中学2018-2019学年高二上学期期中数学(文)试题安徽省马鞍山二中2018-2019学年高二下学期期中文科数学试题江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题福建省厦门市大同中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题北京景山学校远洋分校2020—2021 学年高一年级上学期第二次月考数学试题北京市石景山区2019-2020学年高三上学期期末考试数学试题2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷）2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷）2015-2016学年湖北省武汉外国语学校高二上期末理科数学试卷2016届陕西西北工大附中高三下第六次训练理数学卷2016届陕西西北工大附中高三下第六次训练文数学卷2015-2016内蒙古集宁一中高二上第二次月考文科数学卷江西省南昌市八一中学2016-2017学年高一文理分班考试数学试题河北省衡水市安平中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试题人教A版高中数学必修三 第2章 2.1.1简单随机抽样3山西省孝义市2018届高三下学期名校最新高考模拟卷（一）数学（文）试题云南省红河州泸西一中2017─2018学年高二上学期期末考试理科数学试题内蒙古乌兰察布市集宁一中2017-2018学年高一下学期第二次月考数学（理）试题（已下线）实战演练9.1-2018年高考艺考步步高系列数学【全国百强校】宁夏银川一中2018-2019学年高二12月阶段性测试数学（文）试题【全国百强校】宁夏银川一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题步步高高二数学暑假作业：【文】作业18 统计、统计案例步步高高二数学暑假作业：【理】作业19 统计、统计案例智能测评与辅导[文]-随机抽样与样本的数字特征贵州省思南中学2019-2020学年高二9月月考数学试题湖北省黄冈市2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题山西省朔州市应县一中2019-2020学年高一上学期第四次月考数学试题（已下线）专题10.1 随机抽样（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题11.4 随机事件的概率（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》人教A版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第九章 统计 本章整合提升上海市延安中学2017届高三上学期开学考试数学试题河南省郑州市四中2017-2018学年高一下学期第一次月考数学试题广西河池市高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考（开学考试）数学试题海南省海南枫叶国际学校2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题福建省漳州市2019届高三毕业班高考模拟（二）试卷数学（文）试题（已下线）【新教材精创】5.3.4+频率与概率+导学案（1）-人教B版高中数学必修第二册（已下线）专题31 概率和统计【文】-十年（2011-2020）高考真题数学分项（已下线）测试卷25 统计（A）-2021届高考数学一轮复习（文理通用）单元过关测试卷云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学（文）试题福建省泰宁第一中学2018-2019学年高二上学期第二阶段考试数学（理）试题（已下线）第42练 随机事件的概率、古典概型与几何概型-2021年高考数学（文）一轮复习小题必刷福建省2021届普通高中学业水平合格性考试（会考 ）适应性练习数学试卷四试题湖北省鄂州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题（已下线）第二章 统计【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A版必修3）山东省济宁市2020-2021学年高一下学期期末数学试题河北省唐山市第十一中学2020-2021学年高一下学期6月月考数学试题（已下线）考点48 概率-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点帮（已下线）考向46 随机事件的概率（已下线）专题48 随机事件的概率与古典概型-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型（已下线）专题06 数学情景与新文化100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)沪教版(2020) 必修第三册 同步跟踪练习 第12章 12.3 频率与概率河南省杞县高中2021-2022学年高一下学期6月月考数学试卷（已下线）解密17 概率统计（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（浙江专用）陕西省渭南市临渭区2021-2022学年高二下学期期末文科数学试题（已下线）第13讲 概率初步（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）（已下线）专题22 统计与概率初步（练习）云南省昆明市第三中学2022届高三上学期第二次综合测试数学（文）试题（已下线）13.6统计活动（作业）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020必修第三册）7.3频率与概率-2020-2021学年高一数学北师大2019版必修第一册贵州省黔西南州金成实验学校2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题北师大版(2019) 必修第一册 章末检测卷（七）概率北师大版（2019）必修第一册课本习题 习题7-3（已下线）第一节 随机抽样、常用统计图表 一轮复习点点通（已下线）习题 7-3（已下线）专题18 概率统计选择题（理科）-1（已下线）专题17 概率统计选择题（文科）（已下线）专题06 统计（1）-期末真题分类汇编（新高考专用）
真题
名校
9 . 某超市随机选取
位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买
种商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
 | √ | × | √ | √ |
 | × | √ | × | √ |
 | √ | √ | √ | × |
 | √ | × | √ | × |
 | √ | × | × | × |
 | × | √ | × | × |
（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买
种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
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2016-12-03更新
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2417次组卷
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26卷引用：北京十二中2016-2017学年下学期高二期中试卷 数学（文科）
北京十二中2016-2017学年下学期高二期中试卷 数学（文科）2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）北京十年真题专题11计数原理与概率统计【全国校级联考】河北省石家庄市行唐县三中、正定县三中、正定县七中2017届高三10月联考数学（理）试题人教A版高中数学必修三第三章3.1-3.1.3概率的基本性质2人教B版(2019) 必修第二册 过关斩将 第五章 统计与概率 5.3 概率 5.3.4 频率与概率（已下线）专题10.4 随机事件的概率与古典概型（讲）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题11.4 随机事件的概率（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》人教B版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第五章 5.3 概率 5.3.4 频率与概率沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第二部分 走近高考 第六章 概率高考题选（已下线）专题11.4 随机事件的概率与古典概型（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练（已下线）专题11.4 随机事件的概率与古典概型（讲）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）专题11.1 随机事件的概率（精练）-2021届高考数学（文）一轮复习讲练测（已下线）专题11.3 随机事件的概率（精练）-2021年高考数学(理)一轮复习讲练测（已下线）考向46 随机事件的概率沪教版(2020) 必修第三册 达标检测 第12章 12.3 频率与概率（已下线）第69讲 随机事件的概率、古典概型、条件概率（已下线）12.3频率与概率（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020必修第三册）（已下线）10.3频率与概率（10.3.1 频率的稳定性+10.3.2 随机模拟） (精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）7.3频率与概率 同步练习-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册2023版 湘教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第5章 5.3 用频率估计概率河南省安阳市第一中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题北师大版(2019) 必修第一册 数学奇书 第七章 概 率 章末整合提升（已下线）10.3.1&10.3.2?频率的稳定性、随机模拟——课后作业（基础版）（已下线）专题25 概率统计解答题（文科）（已下线）10.3.1频率的稳定性+10.3.2随机模拟【第三课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
14-15高三上·北京海淀·期末
名校
10 . 根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示
（Ⅰ）求上图中的值；
（Ⅱ）甲队员进行一次射击，求命中环数大于7环的概率（频率当作概率使用）；
（Ⅲ）由上图判断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定（结论不需证明）.
（Ⅰ）求上图中
的值；（Ⅱ）甲队员进行一次射击，求命中环数大于7环的概率（频率当作概率使用）；
（Ⅲ）由上图判断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定（结论不需证明）.
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