1 . 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.

株高增量（单位：厘米）
第1组鸡冠花株数	9	20	9	2
第2组鸡冠花株数	4	16	16	4
第3组鸡冠花株数	13	12	13	2

假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；
(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）

2 . 一部电视连续剧共有集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：从看完第一集后的第一天算起，把余下的集电视剧随机分配在天内；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知这部电视剧最精彩的部分在第集，设该同学观看第一集后的第天观看该集．
(1)求的分布列；
(2)证明：最有可能在第天观看最精彩的第集．

3 . 五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；
(2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；
(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有

4 . 核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性.2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：
方式一：逐个检测；
方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；
方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；
其中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测．
（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；
（2）若，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）．
（附：，，．）