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1 . 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
(1)试根据
的
独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？
精确到0.001
；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为
，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
，其中
.
年龄 | 周平均锻炼时长 | 合计 | |
周平均锻炼时间少于4小时 | 周平均锻炼时间不少于4小时 | ||
50岁以下 | 40 | 60 | 100 |
50岁以上（含50） | 25 | 75 | 100 |
合计 | 65 | 135 | 200 |
的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为
，求的分布列和数学期望. | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中.
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名校
解题方法
2 . 某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰.已知甲､乙､丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为
，乙过关的概率为
，丙过关的概率为
.
(1)若三人中有两人过关，求丙过关的概率；
(2)记甲､乙､丙三人中过关的人数为，求的分布列与数学期望.
，乙过关的概率为，丙过关的概率为.(1)若三人中有两人过关，求丙过关的概率；
(2)记甲､乙､丙三人中过关的人数为
，求的分布列与数学期望.
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2024-09-14更新
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265次组卷
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3卷引用：山东省烟台市招远市第二中学等校2025届高三上学期摸底联考数学试题
山东省烟台市招远市第二中学等校2025届高三上学期摸底联考数学试题山东省泰安第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（已下线）第三章 随机变量及其分布列 专题一 随机变量的期望 微点1 随机变量的分布列、期望【基础版】
解题方法
3 . 如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有
三个腔室，粒子只能从
室出发经
室到达
室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为
.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.
，求
；
(2)求的分布列和数学期望；
(3)设
，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率.
三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.
，求；(2)求
的分布列和数学期望；(3)设
，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率.
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解题方法
4 . 南昌地铁1号线在2015年12月26日正式通车运营，共24站.第1站为双港站，第24站是瑶湖西站.如果乘客乘坐从第1站开往第24站的地铁，则称他为正向乘车，否则称他为反向乘车.假设每隔5分钟，在1号线上的任何一个站点（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘车，也可以反向乘车.在五一劳动节的5天假期期间，张爸爸带着大张和小张一起去南昌旅游.他们约定每天由一人统一管理三人的手机，相邻两天管理手机的人不相同.若某天是张爸爸管理手机，则下一天有的概率是大张管理手机；若某天是大张或小张管理手机，则下一天有的概率是张爸爸管理手机，第一天由张爸爸管理手机.
(1)记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X，求X的分布列及期望．
(2)在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系.张爸爸决定按照事先安排，独自前往景点.大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方.只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有寻找到对方，则他们继续乘车寻找.大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为.求在25分钟内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率.
的概率是大张管理手机；若某天是大张或小张管理手机，则下一天有的概率是张爸爸管理手机，第一天由张爸爸管理手机.(1)记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X，求X的分布列及期望．
(2)在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系.张爸爸决定按照事先安排，独自前往景点.大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方.只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有寻找到对方，则他们继续乘车寻找.大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为
.求在25分钟内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率.
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5 . 为推进乡村振兴计划，某镇通过实地考察当地状况，大力推广当地特色农产品.为了统计甲村，乙村生产该产品的质量，现对甲乙两村各随机选取300件产品，产品的质量如下：
(1)分析能否有
的把握认为甲乙两村的产品质量有差异？
(2)该镇通过线上平台对乡村生产的产品进行售卖，经统计，该产品在
年上半年的月销量符合正态分布
，乡镇人员现从年的前
个月中随机选取三个月的销量数据，其中销量数据不低于
的记为
，求随机变量的分布列和数学期望.
附：
，
| 合格 | 不合格 | 合计 | |
| 甲村 | 270 | 30 | 300 |
| 乙村 | 290 | 10 | 300 |
| 合计 | 560 | 40 | 600 |
的把握认为甲乙两村的产品质量有差异？(2)该镇通过线上平台对乡村生产的产品进行售卖，经统计，该产品在
年上半年的月销量符合正态分布，乡镇人员现从年的前个月中随机选取三个月的销量数据，其中销量数据不低于的记为，求随机变量的分布列和数学期望.附：
， | 0.1 | 0.05 | 0.01 |
| k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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解题方法
6 . 某商场为满足市场需求要将单价分别为18元
，24元，36元的3种糖果按
的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记为这颗糖果的单价（元），你能写出的分布列吗？
，24元，36元的3种糖果按的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记为这颗糖果的单价（元），你能写出的分布列吗？
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7 . 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池．
(1)若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数的分布列及数学期望；
(2)若有放回地每次取一节电池检验，求检验4次取到好电池次数
的数学期望．
(1)若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数
的分布列及数学期望；(2)若有放回地每次取一节电池检验，求检验4次取到好电池次数
的数学期望．
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8 . 在某项目的选拔比赛中，，两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，队队员是
，队队员是
，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分（不存在平局），设队，队最后所得总分分别为，
，且
．
(1)求队得分为1分的概率；
(2)求的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．
，两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分（不存在平局），设队，队最后所得总分分别为，，且．对阵队员 |
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(1)求
队得分为1分的概率；(2)求
的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．
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解题方法
9 . 10件工艺品中有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，求抽得二等品的件数的分布列．
的分布列．
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10 . 一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，则是否服从超几何分布，请说明理由？
表示取出球的最大号码，则是否服从超几何分布，请说明理由？
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