1 . 某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立.
(1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率；
(2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率.

2 . 普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分．
(1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率；
(2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛．

3 . 若随机变量，下列说法中正确的有（       ）

A．	B．期望
C．期望	D．方差

4 . 2023年12月4日是我国第十个国家宪法日.为加强宪法学习宣传，弘扬宪法精神，某省总工会举办宪法闯关网络知识竞答活动.每轮共分两关，每关设有两题，闯每关时两题都要作答，只有第一关的两题均答对，才能闯第二关，否则本轮闯关失败.已知甲第一关每道题答对的概率均为，第二关每道题答对的概率均为，两关至少答对3题才可获得一次抽奖机会.
(1)求甲在一轮闯关中闯关失败的概率；
(2)记甲在一轮闯关中答对的题目数为，请写出的分布列，并求；
(3)若每人可参加多轮问关，且各轮之间相互独立，甲进行5轮闯关，求他恰好获得3次抽奖机会的概率.

5 . 袋中有大小形状相同的5个小球，其中黑球3个，白球2个，从中有放回地取球3次，每次取1个，记为取得黑球次数，为取得白球次数，则（       ）

A．随机变量的可能取值为

B．随机变量的可能取值为

C．随机事件的概率为

D．随机变量与的数学期望之和为3

8 . 某班级为了提高学习数学、物理的兴趣，组织了一次答题比赛活动，规定每位学生共需回答3道题目．现有两种方案供学生任意选择，甲方案：只选数学问题；乙方案：第一次选数学问题，以后按如下规则选题，若本次回答正确，则下一次选数学问题，若回答错误，则下一次选物理问题．数学问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分；物理问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知A同学能正确回答数学问题的概率为，能正确回答物理问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答顺序无关．
(1)求A同学采用甲方案答题，得分不低于100分的概率；
(2)A同学选择哪种方案参加比赛更加合理，并说明理由．

9 . 体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望.

10 . 如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为.

(1)求，，.
(2)写出与之间的递推关系，并求出的通项公式.