1 . 某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：

日销售量/十盒	7	8	9	10
天数	8	12	16	4

假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；
(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？

2 . 一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本（3台设备相互独立，3台都正常工作时利润最大）.每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个元件能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，当系统中有不少于的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常工作.
(1)当时，求一天内制冰厂不亏本的概率；
(2)若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而停业一天，制冰厂将损失1万元，为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考：
方案1：更换3台设备的部分零件，使每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元.
方案2：对设备进行维护，使每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为元.请从期望损失最小的角度判断如何决策？

3 . 2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日.某校为增强学生的国家安全意识，举行了国家安全知识竞赛.比赛规则如下：①比赛分为五轮，每轮比赛设有五道题；②每轮答题前需要读一段安全知识；③如果答题时有n道题回答错误，那么需要被罚分钟的时间；④最终用时为答题时间、读安全知识的时间和被罚时间之和，最终用时最少者获胜.已知甲、乙两人参加比赛，甲每轮读安全知识的时间比乙少12秒，甲、乙两人每道题答对的概率分别为和，假设甲、乙两人的答题用时相同，且每道题是否答对互不影响.
(1)若在前四轮答题中，甲、乙两人被罚的时间相同，求乙胜甲的概率
(2)若仅从最终用时考虑，试问甲、乙两人哪位的水平更高？并说明理由.

4 . 为更好保障消费者的食品安全，某蛋糕总店开发了、两种不同口味的生态戚风蛋糕，制作主料均为生态有机原料.已知蛋糕的成本为元/个，蛋糕的成本为元/个，两种蛋糕的售价均为元/个，两种蛋糕的保质期均为一天，一旦过了保质期，则销毁处理.为更好了解市场的需求情况，、两种蛋糕分别在甲、乙两个分店同时进行了为期一个月（天）的试销，假设两种蛋糕的日销量相互独立，统计得到如下统计表.

蛋糕的销售量（个）
天数
蛋糕的销售量（个）
天数

(1)以销售频率为概率，求这两种蛋糕的日销量之和不低于个的概率；
(2)若每日生产、两种蛋糕各个，根据以上数据计算，试问当与时，哪种情况下两种蛋糕的获利之和最大？

5 . 为普及航空航天科技相关知识､发展青少年航空航天科学素养，贵州省某中学组织开展“筑梦空天”航空航天知识竞赛.竞赛试题有甲、乙、丙三类（每类题有若干道），各类试题的每题分值及小明答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得分，竞赛分三轮答题依次进行，各轮得分之和即为选手总分.

项目 题型	每小题分值	每小题答对概率
甲类题
乙类题
丙类题

其竞赛规则为：
第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题，否则，退出比赛.
第二轮，在乙类题或丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.
第三轮，在前两轮未作答的那一类试题中选择一道作答.
小明参加竞赛，有两种方案选择，方案一：先答甲类题，再答乙类题，最后答丙类题；
方案二：先答甲类题，再答丙类题，最后答乙类题.各题答对与否互不影响.请完成以下解答：
(1)若小明选择方案一，求答题次数恰好为次的概率；
(2)经计算小明选择方案一所得总分的数学期望为，为使所得总分的数学期望最大，小明该选择哪一种方案？并说明理由.

6 . 王先生准备利用家中闲置的10万元进行投资，投资公司向其推荐了A，B两种理财产品，其中产品A一年后固定获利，产品B的一年后盈亏情况的分布列如下（表中）：

盈亏情况	获利	不赔不赚	亏损
概率			p

(1)如果王先生只投资产品B，求他一年后投资收益的期望值．
(2)该投资公司为提高客户积极性，对投资产品B的客户赠送鼓励金，每年的鼓励金为产品B的投资额的但不超过1200元．王先生应该如何分配两个产品的投资额，才能使一年后投资收益（含鼓励金）的期望值最大，最大为多少？

7 . 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.

明年冬小麦统一收购价格（单位：元）
概率

表1

假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.
(1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率；
(2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；
(3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.

8 . 电子竞技（Electronic   Sports）是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼.电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神.第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”.以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：
首轮比赛：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛.根据比赛结果（每场比赛只有胜、败两种结果），两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；
第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得殿军）；胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；
第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得季军）；
第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军.
现有包括战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”.已知战队每场比赛获胜的概率为，且各场比赛互不影响.
(1)估计战队获得冠军的概率；
(2)某公司是战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：
方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；
方案2：获得冠军则奖励（其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元），其他情况不奖励.
请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由.

9 . 葫芦岛市矿产资源丰富，拥有煤、钼、锌、铅等51种矿种，采矿业历史悠久，是葫芦岛市重要产业之一．某选矿场要对即将交付客户的一批200袋钼矿进行品位（即纯度）检验，如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有钼矿做检验，设每袋钼矿品位不达标的概率都为，且每袋钼矿品位是否达标相互独立．
(1)若20袋钼矿中恰有2袋不达标的概率为，求的最大值点；
(2)已知每袋钼矿的检验成本为10元，若品位不达标钼矿不慎出场，对于每袋不达标钼矿要赔付客户110元．现对这批钼矿检验了20袋，结果恰有两袋品位不达标．
①若剩余钼矿不再做检验，以（1）中确定的作为p的值．这批钼矿的检验成本与赔偿费用的和记作，求；
②以①中检验成本与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对余下的所有钼矿进行检验？

10 . 为庆祝建党一百周年，某卫视开展了“学党史”知识竞赛答题活动，每位参赛嘉宾共需要回答（，且）次答题，以获得扶贫基金．若每次回答正确的概率为，回答错误的概率为，且各次答题相互独立．规定第一次答题时，若回答正确得200元，回答错误得100元．第二次答题时，设置了两种答题方案供参赛嘉宾选择．方案一：若回答正确得500元，回答错误得0元；方案二：若回答正确则获得上一次获得答题基金的两倍，回答错误得100元．从第三次答题开始执行第二次答题所选方案，直到答题结束．
(1)如果，参赛嘉宾甲应该选择何种方案参加比赛答题更加有利？并说明理由；
(2)记参赛嘉宾甲第i次获得的基金为，期望为，且选择方案二．记，请直接写出用表示的表达式，并求．
参考数据：，．