1 . 某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：

方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望．

方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为．

(1)请写出方案一的分布列，并求方差；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．

2 . 甲乙二人均为射击队S中的射击选手，某次训练中，二人进行了100次“对抗赛”，每次“对抗赛”中，二人各自射击一次，并记录二人射击的环数，更接近10环者获胜，环数相同则记为“平局”．已知100次对抗的成绩的频率分布如下：

“对抗赛”成绩（甲：乙）										总计
频数	21	13	6	25	15	10	4	2	4	100

这100次“对抗赛”中甲乙二人各自击中各环数的频率可以视为相应的概率．
(1)设甲，乙两位选手各自射击一次，得到的环数分别为随机变量X，Y，求，，，．
(2)若某位选手在一次射击中命中9环或10环，则称这次射击成绩优秀，以这100次对抗赛的成绩为观测数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为甲的射击成绩优秀与乙的射击成绩优秀有关联？
(3)在某次团队赛中，射击队S只要在最后两次射击中获得至少19环即可夺得此次比赛的冠军，现有以下三种方案：
方案一：由选手甲射击2次﹔
方案二：由选手甲、乙各射击1次；
方案三：由选手乙射击2次．
则哪种方案最有利于射击队S夺冠？请说明理由．
附：参考公式：
参考数据：

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

3 . 某人欲投资10万元，有两种方案可供选择．设X表示方案一所得收益（单位：万元），Y表示方案二所得收益（单位：万元）．其分布列分别为：

X	−2	8
P	0.7	0.3
Y	−3	12
P	0.7	0.3

假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？

4 . 2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.

(1)若此次知识问答的得分，用样本来估计总体，设，分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求的值；
(2)学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.
参考数据：，，，，.

5 . 投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列如表所示：
甲种股票：

收益x（元）		0	2
概率	0.1	0.3	0.6

乙种股票：

收益y（元）	0	1	2
概率	0.3	0.3	0.4

(1)如果有人向你咨询：想投资其中一种股票，你会给出怎样的建议呢？
(2)在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，假设两种股票的买入价都是每股1元，某人有10000元用于投资，请你给出一个投资方案，并说明理由．

6 . 在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；
策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：

策略		概率		每题耗时（分钟）
		第11题	第12题
A	选对选项	0.8	0.5	3
B	部分选对	0.6	0.2	6
	全部选对	0.3	0.7

已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：
(1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差；
(2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．

7 . 已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，现在采取两种不同的方案取出球，具体如下：
(1)从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取4次球，求共取得红球次数的分布列；
(2)从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数的数学期望和方差．

8 . 为了深入贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，坚持以新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表．

消费金额（千元）
人数	30	50	60	20	30	10

(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
（ⅰ）试估计该机构学员2020年消费金额为的概率（保留一位小数）；
（ⅱ）若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的分布列及方差．
参考数据：；若随机变量服从正态分布，则，，．