1 . 平面几何中的有些命题,可拓展为立体几何中的类似的命题.例如:平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成的角分别为α和β,则有cos2α+cos2β=1成立;可拓展为在空间一长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线AC1和棱AA1、AB、AD的分别为α、β、θ,则有cos2α+cos2β+cos2θ=1成立.现在有平面几何中的一个命题:正三角形内任意一点到各边的距离之和等于该正三角形的高;请你也拓展为在空间一个类似的命题:___________________________________
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20-21高一·全国·课后作业
名校
2 . 两个正方体
、
,棱长分别
、
,则对于正方体
、
有:棱长的比为a:b,表面积的比为
,体积比为
.我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”,下列给出的几何体中是“相似体”的是( )
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A.两个球 | B.两个长方体 | C.两个圆柱 | D.两个圆锥 |
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2021-04-21更新
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235次组卷
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4卷引用:1.1.2 简单组合体的结构特征-2020-2021学年高一数学课时同步练(人教A版必修2)
(已下线)1.1.2 简单组合体的结构特征-2020-2021学年高一数学课时同步练(人教A版必修2)浙江省杭州市实验外国语学校2020-2021学年高二下学期期中数学试题陕西省西安市第八十九中学2021-2022学年高二上学期第二次月考理科数学试题(已下线)专题02 推理与证明-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习(苏教版选修2-2、2-3)
3 . 类比性质“正三角形内一点到各边的距离之和为定值”,在立体几何中可以得到什么结论?
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名校
4 . 我们知道,在平面直角坐标系中,方程
表示的图形是一条直线,具有特定性质:“在
轴,
轴上的截距分别为
”;类比到空间直角坐标系中,方程
表示的点集对应的图形也具有某特定性质,设此图形为
,若
与
平面所成角正弦值为
,则正数
的值是( )
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A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2022-11-23更新
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134次组卷
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3卷引用:四川省遂宁中学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学(理)试题
四川省遂宁中学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学(理)试题(已下线)第七章 应用空间向量解立体几何问题拓展 专题二 平面法向量求法及其应用 微点1 平面法向量求法及其应用(一)【基础版】新疆伊宁县第二中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学(理)试题
5 . 若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根,则称该带分数为“穿墙数”,例如
.若一个“穿墙数”的整数部分等于
,则分数部分等于( )
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A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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名校
解题方法
6 . 有同学看到式子“
”,理解为
是偶函数,且根据
与
的图像间的关系知
的图像关于
对称;请类比该同学的思路写出一个式子表示__________,
的图像关于
对称.
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2021-09-18更新
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161次组卷
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2卷引用:河北省张家口市第一中学2020-2021学年高一上学期12月月考数学试题
20-21高一·全国·课后作业
7 . 类比是根据两个对象在某些方面的相同或相似,推出它们在其他方面的相同或相似的一种推理方法.由于类比推理所得结论的真实性并不可靠,因此它不能作为严格的数学推理方法,但它是提出新问题和获得新发现的源泉.平面几何和立体几何在研究对象和方法、构成图形的基本元素等方面是相同或相似的,因此,在二者之间进行类比是研究它们性质的一种非常有效的方法.为了对二者进行类比,可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系:
平面 空间
点 → 点或直线
直线 → 直线或平面
平面图形→ 平面图形或立体图形
请你探究:
(1)对勾股定理进行类比,在空间能得到什么结论?
(2)在平面内,不共线的三点确定一个圆.那么在空间有什么类似的命题?
平面 空间
点 → 点或直线
直线 → 直线或平面
平面图形→ 平面图形或立体图形
请你探究:
(1)对勾股定理进行类比,在空间能得到什么结论?
(2)在平面内,不共线的三点确定一个圆.那么在空间有什么类似的命题?
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解题方法
8 . 我们知道,判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判断,那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题.
(1)设
、
是椭圆
的两个焦点,点
、
到直线
的距离分别为
、
,试求
的值,并判断直线L与椭圆M的位置关系;
(2)设
、
是椭圆
(
)的两个焦点,点
、
到直线
(m、n不同时为0)的距离分别为
、
,且直线L与椭圆M相切,试求
的值;
(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明;
(4)将(3)中得出的结论类比到其他曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明).
(1)设
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a3fb78c5f885034612c0e030b920143d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/870fb1f573acc20477bc0875ee2d47f9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5edf900c810371fb21297c15f86d8743.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b31ac1def558351e2e3ed1235c570530.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/12a1f2f816a51069ca88b1665053c53e.png)
(2)设
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f326db309ab6bf16acfab03080650c73.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5a0c4c098615c6bc7e6dcf72e5b5201a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a3fb78c5f885034612c0e030b920143d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/44f06e518dda83f3d05f419cf2852380.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5edf900c810371fb21297c15f86d8743.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b31ac1def558351e2e3ed1235c570530.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/12a1f2f816a51069ca88b1665053c53e.png)
(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明;
(4)将(3)中得出的结论类比到其他曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明).
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9 . 假设半径为r的圆的面积为
,我们用下面的方法推出圆的周长公式
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/11/11/2849055774760960/2849848105508864/STEM/635e291f-74c8-4855-b9fb-c375a54fe64d.png?resizew=650)
如图,设h是一个正数,考查半径分别为r和
的两个同心圆所围成的圆环(图中阴影区域).这个圆环的面积为
.
可以看出,
,其中
是以小圆周长为长、h为宽的矩形的面积,
是以大圆周长为长、h为宽的矩形的面积.
所以有
,即
.
如果h越来越小(趋于0),那么大圆的周长C趋近于小圆的周长c,且
趋于0,因此我们得到
,
从而
.
用类似的方法证明:假设半径为R的球的体积为
,那么球的表面积为
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/522f6597d38b3575f568184c58c2218d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/89e90eebb4d2cba4a3917b49463ac9ba.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/11/11/2849055774760960/2849848105508864/STEM/635e291f-74c8-4855-b9fb-c375a54fe64d.png?resizew=650)
如图,设h是一个正数,考查半径分别为r和
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/db537643b28ba1f2febae96e2de7dec2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65ded97fc206816cf2ef8c9284d3ceea.png)
可以看出,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c7a76954ca6caf82998fcc5545988db1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e097c8d4c948de063796bd19f85b3a9a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e0bd63f55069a3bc870915010b39225.png)
所以有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d359d27d575f6d8f8cfefe074a93e77.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a1841855a3cc3f91f092489ec2afbbd5.png)
如果h越来越小(趋于0),那么大圆的周长C趋近于小圆的周长c,且
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a6152c6d03200b6b5b979e4fe42305a8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ae889e16c7f4c1d5855619af9a0baf1.png)
从而
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/89e90eebb4d2cba4a3917b49463ac9ba.png)
用类似的方法证明:假设半径为R的球的体积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ca331ac8409eeb1d0ebf4219f1b1511.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0db492b8c6e11afe336ee7d4a32e51a0.png)
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20-21高一·江苏·课后作业
10 . 子集符号“
”与不等号“
”看起来很相似.“
”具有下面的性质:
如果
且
,那么
;
如果
且
,那么
.
试写出“
”相应的“性质”,并判断其正确性.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b980d8446f130dfc405c196109e73ea4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8536a5ebd76f494c03019086506d8e6a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8536a5ebd76f494c03019086506d8e6a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9bf6c84731e5e1bd335ecfc2d36c3d81.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3798d6c2e5eac9c1d8b044efd5081acf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ed71b5f6cf02b7e4c52c1181669a3879.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/698cb6e11f584b58e6b0eb0753c79258.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f53190d6ead827a6338b9de847aeaf1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3798d6c2e5eac9c1d8b044efd5081acf.png)
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试写出“
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b980d8446f130dfc405c196109e73ea4.png)
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