19. 某市为提升中学生的数学素养,激发学生学习数学的兴趣,举办了一次“数学文化知识大赛”,分预赛和复赛两个环节.已知共有8000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本,得到如下频率分布直方图.
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,求恰有1人预赛成绩优良的概率;
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩
Z服从正态分布
N(
μ,
σ2),其中
μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且
σ2=362.利用该正态分布,估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数;
(3)预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛,复赛规则如下:①每人的复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量
n,每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格,规定答第
k题时“花”掉的分数为0.1
k(
k∈(1,2
n));③每答对一题加1.5分,答错既不加分也不减分;④答完
n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.7,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩,则他的答题数量
n应为多少?
(参考数据:
;若
Z~
N(μ,σ
2),则
P(μ﹣σ<
Z<μ+σ)≈0.6827,
P(μ﹣2σ<
Z<μ+2σ)≈0.9545,
P(μ﹣3σ<
Z<μ+3σ)≈0.9973.