【推荐1】已知公比为3的等比数列满足．
（1）求的值；
（2）记为的前项和，求数列的前项和．

【推荐2】已知数列{a_n}的前n项和.
(1)计算a₁，a₂，a₃，a₄；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.

【推荐3】（1）已知数列的通项公式为，求证：；
（2）已知数列的通项公式为，求证：．

【推荐1】已知数列满足，.
（1）求证数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和.

【推荐2】已知数列是等差数列，，公差，是等比数列，，公比，构造数列：．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求k的值及数列的前k项和．

【推荐3】已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄＝14，且a₁，a₃，a₇成等比数列.
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列的前n项和，若λT_n≤a_n＋1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最大值.

【推荐1】已知数列满足.
(1)写出数列的前4项；
(2)记，判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(3)求数列的前30项和.

【推荐2】已知数列的前n项和为，已知，且当，时，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和．

【推荐3】已知各项均为正数的数列的前项和满足（）.
(1)证明：数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

【推荐1】年月日，小刘从各个渠道融资万元，在某大学投资一个咖啡店，年月日正式开业，已知开业第一年运营成本为万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加万元，若每年的销售额为万元，用数列表示前年的纯收入．（注：纯收入前年的总收入前年的总支出投资额）
（1）试求年平均利润最大时的年份（年份取正整数）并求出最大值．
（2）若前年的收入达到最大值时，小刘计划用前年总收入的对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用．

【推荐2】在如图三角形数阵中，第行有个数，表示第行第个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，.

(1)求及；
(2)记，求.

【推荐3】已知数列满足，，记数列的前n项和为.
（1）求的值；
（2）求的最大值.