2024高三·全国·专题练习
1 . 
三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)；
(1)试估计
班的学生人数；
(2)从
班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
(3)再从三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记
，表格中数据的平均数记为
，试判断和的大小，(结论不要求证明)
三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)；| A班 | 6 |
| 7 |
| 8 | |||
| B班 | 6 | 7 | 8 |
| 10 | 11 | 12 | |
| C班 | 3 |
| 6 |
| 9 |  | 12 |
|
班的学生人数；(2)从
班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从
三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时)，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，(结论不要求证明)
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2024高三·全国·专题练习
2 . 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一和方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表所示．
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率．
(2)将该校学生支持方案二的概率估计值记为
，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除了一年级，其他年级学生支持方案二的概率估计值记为
，试比较与的大小.（不要求证明所得结论）
| 方案 | 男生 | 女生 | ||
| 支持 | 不支持 | 支持 | 不支持 | |
| 一 | 200人 | 400人 | 300人 | 100人 |
| 二 | 350人 | 250人 | 150人 | 250人 |
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率．
(2)将该校学生支持方案二的概率估计值记为
，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除了一年级，其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小.（不要求证明所得结论）
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3 . 甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜．在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的．
(1)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．
(2)若规定两人起始分都为2分，记
（
）为甲累计总分为i时，甲最终获胜的概率，则
①求证
（
）为等比数列
②求
的值．
(1)若两人起始分都为0分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率．
(2)若规定两人起始分都为2分，记
（）为甲累计总分为i时，甲最终获胜的概率，则①求证
（）为等比数列②求
的值．
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名校
4 . 已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
，
，
；
，
，
.记总样本的平均数为
，样本方差为
.
(1)试证明：
；
(2)在对某高中1500名高三年级学生的身高的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为170cm和12，女生的平均数和方差分别为160cm和38.试用（1）证明的公式估计高三年级全体学生身高的方差.
，，；，，.记总样本的平均数为，样本方差为.(1)试证明：
；(2)在对某高中1500名高三年级学生的身高的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为170cm和12，女生的平均数和方差分别为160cm和38.试用（1）证明的公式估计高三年级全体学生身高的方差.
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名校
5 . 研究表明，学生的学习成绩y（分）与每天投入的课后学习时间x（分钟）有较强的线性相关性．某校数学小组为了研究如何高效利用自己的学习时间，收集了该校高三（1）班学生9个月内在某学科（满分100分）所投入的课后学习时间和月考成绩的相关数据，下图是该小组制作的原始数据与统计图（散点图）．
(1)当
时，该小组建立了
与
的线性回归模型，求其经验回归方程；
(2)当时，由图中观察到，第3个月的数据点明显偏离回归直线
，若剔除第3个月数据点后，用余下的4个散点做线性回归分析，得到新回归直线
，证明：
；
(3)当
时，该小组确定了与满足的线性回归方程为：
，该数学小组建议该班在该学科投入课后学习时间为40分钟，请结合第（1）（2）问的结论说明该建议的合理性．
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
| 月次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 某科课后投入时间（分钟） | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| 高三（1）班某科平均分（分） | 65 | 68 | 75 | 72 | 73 | 73 | 73 | 73．5 | 73 |
(1)当
时，该小组建立了与的线性回归模型，求其经验回归方程；(2)当
时，由图中观察到，第3个月的数据点明显偏离回归直线，若剔除第3个月数据点后，用余下的4个散点做线性回归分析，得到新回归直线，证明：；(3)当
时，该小组确定了与满足的线性回归方程为：，该数学小组建议该班在该学科投入课后学习时间为40分钟，请结合第（1）（2）问的结论说明该建议的合理性．附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
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2023高三·全国·专题练习
6 . 足球是一项大众喜爱的运动．2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天．某校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第
次触球者是甲的概率记为
，即
．
(1)求
（直接写出结果即可）；
(2)证明：数列
为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
次触球者是甲的概率记为，即．(1)求
（直接写出结果即可）；(2)证明：数列
为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．
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解题方法
7 . 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车
年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在
岁以下的客户中抽取
位归为组，从年龄在岁（含岁）以上的客户中抽取位归为
组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图:
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
(1)分别求出组客户与组客户“实际平均续航里程数”的平均值；
(2)在
两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于
的客户中各随机抽取位客户，求组客户的“实际平均续航里程数”不小于组客户的“实际平均续航里程数”的概率
(3)试比较两组客户数据方差的大小.（结论不要求证明）
年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在岁以下的客户中抽取位归为组，从年龄在岁（含岁）以上的客户中抽取位归为组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图:注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
(1)分别求出
组客户与组客户“实际平均续航里程数”的平均值；(2)在
两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于的客户中各随机抽取位客户，求组客户的“实际平均续航里程数”不小于组客户的“实际平均续航里程数”的概率(3)试比较
两组客户数据方差的大小.（结论不要求证明）
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解题方法
8 . 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段
，
，
，
，
，
进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率；
(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在，，三组中，其中a，b，
．当数据a，b，c的方差最小时，写出a，b，c的值（结论不要求证明）
，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在
和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率；(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在
，，三组中，其中a，b，．当数据a，b，c的方差最小时，写出a，b，c的值（结论不要求证明）
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名校
9 . 尝试使用概率的“可加性”解决下面的问题：
(1)设是同一样本空间中的两个事件，探索
，
，
，
之间的等量关系，并说明理由.
(2)甲、乙各抛郑枚硬币，证明：“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于
.
(1)设
是同一样本空间中的两个事件，探索，，，之间的等量关系，并说明理由.(2)甲、乙各抛郑
枚硬币，证明：“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于.
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2023-06-09更新
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292次组卷
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4卷引用：上海市大同中学2023届高三上学期阶段性质量检测数学试题
上海市大同中学2023届高三上学期阶段性质量检测数学试题（已下线）第5章 统计与概率-【优化数学】单元测试能力卷（人教B版2019）（已下线）12.2 古典概率（五大题型）（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）【课后练】12.2.4 可加性 课后作业-沪教版（2020）必修第三册第12章 概率初步
解题方法
10 . 随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了
个区间：
、
、
、
、
、
，整理得到如下频率分布直方图：
(1)求图1中
的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
(2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值
及方差
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为
、的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、与、，记总的样本平均数为
，样本方差为，证明：
①
；
②
．
名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：(1)求图1中
的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；(2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值
及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为
、的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：①
；②
．
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