1 . 一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内做往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
   
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

2 . 已知函数,
若函数有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______（填写正确序号）
①.          ②.函数在处的切线与直线平行
③.函数在上的最大值为
④.函数在 上单调递减

3 . 已知函数，其中，．
(1)当时，的零点为______；（将结果直接填写在横线上）
(2)当时，如果存在，使得，试求的取值范围；
(3)如果对于任意，都有成立，试求的最大值．

4 . 已知曲线在处的切线与直线垂直．
（Ⅰ）求解析式；
（Ⅱ）求的单调区间并画出的大致图象；
（Ⅲ）已知函数，若对任意，总有求实数的取值范围．