1 . 已知函数和，它们的图像分别为曲线和.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：曲线和有唯一交点；
(3)设直线与两条曲线共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，求证：成等比数列.

3 . 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；
(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.

4 . 设分别是椭圆的左、右顶点，点为椭圆的上顶点．
   
(1)若的离心率为，求的方程；
(2)设是的右焦点，点是上的任意动点（不在直线上），求的面积S的最大值；
(3)设，点是直线上的动点，点和是上异于左、右顶点的两点，且分别在直线和上，求证：直线恒过一定点．

5 . 设抛物线：的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和.

(1)若，求点的坐标；
(2)若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；
(3)若，且直线，与有且只有一个公共点，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（三角形面积公式：在中，设，，则的面积为

6 . 已知，为的两个顶点，为的重心，边，上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若直线与曲线相交于点、，若线段的中点是，求直线的方程；
(3)已知点，，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.

7 . 如图，解决以下问题：
(1)设椭圆与双曲线有相同的焦点、，M是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为6，求椭圆的方程；
(2)我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，已知“盾圆D”的方程为，设“盾圆D”上的任意一点M到的距离为，M到直线的距离为，求证为定值；
(3)由抛物线弧：与第（1）小题椭圆弧：所合成的封闭曲线为“盾圆E”，设“盾圆E”上的两点A、B关于x轴对称，O为坐标原点，试求面积的最大值．

8 . 已知．
(1)若关于x的方程有解，求实数a的最小值；
(2)证明不等式；
(3)类比（2）中不等式的证明方法，尝试证明：（，e为自然对数的底数）

9 . 已知，曲线．
(1)若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值；
(2)若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程；
(3)设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点， ，直线与直线交于点，求证：当时，A，，三点共线．

10 . 在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)不过圆心且与x轴垂直的直线交轨迹E于A，M两个不同的点，连接交轨迹E于点B
（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．