1 . 材料1:三棱锥有4个顶点,6条棱,4个面;正方体有8个顶点,12条棱,6个面;三棱柱有个6顶点,9条棱,5个面;...,通过观察发现:这些几何体的顶点数、棱数及面数都满足简单的规律:;在此基础上瑞士数学家欧拉证明了对于任意简单多面体,其顶点数、棱数及面数都满足多面体欧拉公式.所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体(同胚可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气,它能膨胀变为一个球,那么可以认为它与球同胚).正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形,并且各个多面角(多面角是指有公共端点且两两不共线的条射线,以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形,例如日常生活中我们看到的墙角就是一个特殊的三面角)都是全等的多面角.例如,正四面体的四个面都是全等的三角形,每个顶点有一个三面角,共有四个三面角,可以完全重合,也就是说它们是全等的.正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体分别如图所示.我们可以看到,正多面体每个顶点处有相同数量的棱相交,每一条棱处有两个面相交.
材料2:1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家,C60是由60个C原子构成的分子,它是形如足球的多面体,这个多面体有60个顶点,以每一个顶点为端点都有三条棱,面的形状只有五边形和六边形;
(1)阅读上述材料,请用数学符号表示简单多面体的顶点数、棱数及面数,并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式(不需要证明);
(2)请结合上述材料,在下面两个问题中选择一个回答,并写出解答过程.)问题1:请问C60的分子结构模型中,有几个五边形?问题2:简单多面体中是否存在正十六面体?如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状;如果不存在,请说明理由.
材料2:1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家,C60是由60个C原子构成的分子,它是形如足球的多面体,这个多面体有60个顶点,以每一个顶点为端点都有三条棱,面的形状只有五边形和六边形;
(1)阅读上述材料,请用数学符号表示简单多面体的顶点数、棱数及面数,并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式(不需要证明);
(2)请结合上述材料,在下面两个问题中选择一个回答,并写出解答过程.)问题1:请问C60的分子结构模型中,有几个五边形?问题2:简单多面体中是否存在正十六面体?如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状;如果不存在,请说明理由.
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21-22高三上·北京·期中
名校
解题方法
2 . 数列满足:或对任意i,j,都存在s,t,使得,其中且两两不相等.
(1)若时,写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号;①;②;③;
(2)记,若证明:;
(3)若,求n的最小值.
(1)若时,写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号;①;②;③;
(2)记,若证明:;
(3)若,求n的最小值.
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2021-11-27更新
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869次组卷
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5卷引用:北京市第四中学2022届高三上学期期中考试数学试题
(已下线)北京市第四中学2022届高三上学期期中考试数学试题(已下线)专题04 数列(数学思想与方法)-备战2022年高考数学二轮复习重难考点专项突破训练(全国通用)北京景山学校2022届高三适应性考试数学试题北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题(已下线)北京市第五十五中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题
名校
3 . 某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题.甲和丁均说自己不会证明;乙说:丙会证明;丙说:丁会证明.已知四名同学中只有一人会证明此题,且只有一人说了真话.据此可以判定能证明此题的人是( )
A.甲 | B.乙 | C.丙 | D.丁 |
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2021-05-06更新
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1029次组卷
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10卷引用:江苏省淮安市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题
江苏省淮安市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题(已下线)第2章 章末复习课(基础练)-2020-2021学年高二数学(理)十分钟同步课堂专练(人教A版选修2-2)陕西省咸阳市2021届高三五月数学信息专递试题安徽省安庆市第十中学2020-2021学年高二下学期5月月考文科数学试题(已下线)第2章 章末复习课(基础练)-2020-2021学年高二数学(文)十分钟同步课堂专练(人教A版选修1-2)陕西省西安市第八十九中学2021-2022学年高二上学期第二次月考理科数学试题江苏省泰州市泰兴市第一高级中学2022届高三下学期阶段测试二数学试题新疆昌吉州行知学校2021-2022学年高二下学期期末考试数学(文)试题广西钦州市第四中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题(理科)青海省海南藏族自治州高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学(文)试题
4 . 如图一,在平面几何中,有如下命题“正三角形的高为h,O是内任意一点,则O到三边的距离的和为定值h,当O是的中心时,O到各边的距离均为”.
证明如下:设正三角形边长为a,高h,O到三边的距离分别
则:,即:
化简得,
若O是中心,则
即:正三角形中心到各边的距离均为
类比此命题及证明方法,在立体几何中,请写出高为h的正四面体(图二)相应的命题,并证明你的结论.
证明如下:设正三角形边长为a,高h,O到三边的距离分别
则:,即:
化简得,
若O是中心,则
即:正三角形中心到各边的距离均为
类比此命题及证明方法,在立体几何中,请写出高为h的正四面体(图二)相应的命题,并证明你的结论.
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名校
5 . 双曲线与椭圆有许多优美的对称性质,对于双曲线(,),有下列性质:若是双曲线(,)不平行于对称轴且不过原点的弦,为的中点,为坐标原点,则为定值,椭圆也有类似的性质.若是椭圆不平行于对称轴且不过原点的弦,为的中点,为坐标原点,猜想的值,并证明.
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2021-03-24更新
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276次组卷
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5卷引用:河南省2020-2021学年高二年级阶段性测试(三)理科数学试题
河南省2020-2021学年高二年级阶段性测试(三)理科数学试题(已下线)第二章 推理与证明【专项训练】-2020-2021学年高二数学(文)下学期期末专项复习(人教A版选修1-2)山西省怀仁市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学(理)试题山西省怀仁市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学(文)试题陕西省安康市汉滨区七校2022-2023学年高二下学期期末联考文科数学试题
名校
6 . 观察以下式子:
;
;
;
按此规律归纳猜想第5个等式为__________ .(不需要证明)
;
;
;
按此规律归纳猜想第5个等式为
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2021-05-13更新
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625次组卷
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4卷引用:陕西省西安中学2021届高三下学期第九次模拟考试文科数学试题
陕西省西安中学2021届高三下学期第九次模拟考试文科数学试题安徽省安庆市第十中学2020-2021学年高二下学期5月月考文科数学试题黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2020-2021学年高二下学期期末考试理科数学试题(已下线)专题10 不等式、推理与证明、算法初步、复数-2021年高考真题和模拟题数学(文)分项汇编(全国通用)
7 . 某同学在三角函数的研究性学习中发现以下三个等式:
①
②
③
(Ⅰ)请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:.
①
②
③
(Ⅰ)请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:.
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8 . 设,,并且对于任意,,成立.
(1)计算,,的值,并猜想的表达式;
(2)证明(1)中猜想的表达式.
(1)计算,,的值,并猜想的表达式;
(2)证明(1)中猜想的表达式.
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2021-08-02更新
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45次组卷
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2卷引用:内蒙古自治区乌海市2020-2021学年高二下学期期末数学理科试题
9 . 已知数列的前项和为.
(1)求出;
(2)猜想前项和,并证明.
(1)求出;
(2)猜想前项和,并证明.
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2016高二·全国·课后作业
解题方法
10 . 如图所示,在中,,其中,,分别为角,,的对边,在四面体中,,,,分别表示,,,的面积,,,依次表示面,面,面与底面所成二面角的大小.写出对四面体性质的猜想,并证明你的结论
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2020-06-10更新
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187次组卷
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7卷引用:同步君人教A版选修1-2第二章 2.1.1合情推理
(已下线)同步君人教A版选修1-2第二章 2.1.1合情推理(已下线)同步君人教A版选修2-2第二章2.1.1合情推理高中数学人教版 选修2-2(理科) 第二章推理与证明 2.1.1合情推理高中数学人教版 选修1-2(文科) 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理安徽省滁州市定远县民族中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高二下学期5月月考数学(理)试题安徽省滁州市民办高中2019-2020学年高二下学期期末数学(理)试题