1 . 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
   
这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？

2 . 如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______．

   

3 . 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.
(1)求，和，；
(2)证明：为等比数列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.

4 . 为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到两地区的空气质量指数如下图所示：
   
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：

空气质量指数
空气质量状况	优良	轻中度污染	重度污染

(1)试估计地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；
(2)假设两地区空气质量状况相互独立，记事件：“地区空气质量等级优于地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件的概率；
(3)若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择两地区哪个地区．（只需写出结论）

6 . 某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（       ）

A．27

B．24

C．32

D．28

7 . 给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（       ）

A．个

B．个

C．个

D．个

8 . 某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为.
(1)求；
(2)当时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为，求随机变量的分布列及数学期望；
(3)当时，证明：.

9 . 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（       ）

A．

B．

C．

D．