解题方法
1 . 有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为
，各局比赛的结果相互独立．
(1)求前3局比赛甲都取胜的概率；
(2)求前3局比赛乙恰好赢1局的概率；
(3)用
表示前3局比赛中乙获胜的局数，求的分布列和数学期望．
，各局比赛的结果相互独立．(1)求前3局比赛甲都取胜的概率；
(2)求前3局比赛乙恰好赢1局的概率；
(3)用
表示前3局比赛中乙获胜的局数，求的分布列和数学期望．
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名校
2 . 已知二项式
的展开式中，所有项的二项式系数之和为
，各项的系数之和为
，
.
(1)求
的值：
(2)求展开式中
的系数.
的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，.(1)求
的值：(2)求展开式中
的系数.
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2024-07-29更新
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68次组卷
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5卷引用：云南省丽江市宁蒗彝族自治县第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
云南省丽江市宁蒗彝族自治县第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题陕西省榆林市神木市第四中学2023-2024学年高二下学期第二次月考检测数学试题甘肃省兰州市皋兰县第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（已下线）第一章 排列组合与二项式定理 专题六 二项式系数和、杨辉三角与组合恒等式 微点2 二项式系数和、杨辉三角与组合恒等式综合训练【基础版】新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2025届高三上学期第一次月考（8月）数学试题
解题方法
3 . 已知二项式
的展开式中二项式系数的和为128．
(1)求展开式中各项的系数和；
(2)求展开式的常数项．
的展开式中二项式系数的和为128．(1)求展开式中各项的系数和；
(2)求展开式的常数项．
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名校
4 . 某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成
，
，
，
，
，
这6组，得到如下的频数分布表：
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．
(1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在
中的个数，求X的分布列和数学期望；
(2)若变量S满足
，且
，则称变量S满足近似于正态分布
的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布
的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？
，，，，，这6组，得到如下的频数分布表：分组 |
|
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|
|
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频数 | 5 | 15 | 40 | 40 | 15 | 5 |
(1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在
中的个数，求X的分布列和数学期望；(2)若变量S满足
，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？
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2024-07-07更新
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216次组卷
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9卷引用：云南省丽江市宁蒗彝族自治县第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
云南省丽江市宁蒗彝族自治县第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题青海省海东市第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题青海省海东市第二中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题吉林省白山市第七中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题新疆维吾尔自治区阿克苏地区第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题吉林省吉林市桦甸市第一中学2023-2024学年高二下学期期中基础知识检测数学试题陕西省咸阳市永寿县中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题陕西省榆林市神木市第四中学2023-2024学年高二下学期第三次检测考试数学试题（已下线）模型6 正态分布的概率问题（第7章 随机变量及其分布）
名校
解题方法
5 . 为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为
，且销量y的方差
，年份x的方差
．
(1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
(2)该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
请完成调查数据表，并回答能否依据小概率值
的
独立性检验判断购买电动车与车主性别有关?
参考公式：（ⅰ）线性回归方程：
，其中
，
；
（ⅱ）相关系数：
，若
，则可认为y与x线性相关较强．
（ⅲ）
，
．附表：
，且销量y的方差，年份x的方差．(1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
(2)该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 | 购买非电动汽车 | 购买电动汽车 | 总计 |
男性 | 39 | 45 | |
女性 | 15 | ||
总计 |
的独立性检验判断购买电动车与车主性别有关?参考公式：（ⅰ）线性回归方程：
，其中，；（ⅱ）相关系数：
，若，则可认为y与x线性相关较强．（ⅲ）
，．附表：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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6 . 已知二项式
的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数
.
(1)求的值；
(2)二项式的展开式中的系数为
的系数为
，若
，则求的值.
的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数.(1)求
的值；(2)二项式的展开式中
的系数为的系数为，若，则求的值.
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7 . （1）求
的值；
（2）若等式
成立，求正整数的值.
的值；（2）若等式
成立，求正整数的值.
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2024-05-19更新
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198次组卷
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3卷引用：云南省长水教育集团2023-2024学年高二下学期质量检测（二）数学试题
云南省长水教育集团2023-2024学年高二下学期质量检测（二）数学试题（已下线）专题01 排列、组合与二项式定理--高二期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第二册）新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
名校
解题方法
8 . 贝叶斯公式
中，
称为先验概率，
称为后验概率．先验概率表达了对事件
的初始判断，当新的信息出现后，我们可以利用贝叶斯公式求出后验概率，以此修正自己的判断并校正决策．利用这种思想方法我们来解决如下一个实际问题．
某趣味抽奖活动准备了三个外观相同的不透明箱子，已知三个箱子中分别装有10个红球、5个红球5个白球、10个白球(球的大小、质地相同)．抽奖活动共设计了两个轮次：
第一轮规则：抽奖者从三个箱子中随机选择一个箱子，并从该箱子中取出两球（分两次取出，每次取一球，取出的球不放回)，若取出的两个球都是红球则可以进入第二轮，否则抽奖活动结束(无奖金)．
第二轮规则：进入第二轮的抽奖者可以选择三种抽奖方案．方案一：就此停止，并获得奖金300元；方案二：继续从第一轮抽取的箱子中再取一球，若为红球则可获得奖金400元，若为白球奖金变为0元；方案三：不再从第一轮抽取的箱子中取球，而是从另外两个箱子中随机选择一个箱子，并从中取出一球，若为红球则可获得奖金800元，若为白球奖金变为80元．
(1)求抽奖者在第一次取出红球的条件下，能进入第二轮的概率；
(2)在第二轮的三种抽奖方案中，从抽奖者获得奖金的数学期望的角度，找出三种抽奖方案的最佳方案．
中，称为先验概率，称为后验概率．先验概率表达了对事件的初始判断，当新的信息出现后，我们可以利用贝叶斯公式求出后验概率，以此修正自己的判断并校正决策．利用这种思想方法我们来解决如下一个实际问题．某趣味抽奖活动准备了三个外观相同的不透明箱子，已知三个箱子中分别装有10个红球、5个红球5个白球、10个白球(球的大小、质地相同)．抽奖活动共设计了两个轮次：
第一轮规则：抽奖者从三个箱子中随机选择一个箱子，并从该箱子中取出两球（分两次取出，每次取一球，取出的球不放回)，若取出的两个球都是红球则可以进入第二轮，否则抽奖活动结束(无奖金)．
第二轮规则：进入第二轮的抽奖者可以选择三种抽奖方案．方案一：就此停止，并获得奖金300元；方案二：继续从第一轮抽取的箱子中再取一球，若为红球则可获得奖金400元，若为白球奖金变为0元；方案三：不再从第一轮抽取的箱子中取球，而是从另外两个箱子中随机选择一个箱子，并从中取出一球，若为红球则可获得奖金800元，若为白球奖金变为80元．
(1)求抽奖者在第一次取出红球的条件下，能进入第二轮的概率；
(2)在第二轮的三种抽奖方案中，从抽奖者获得奖金的数学期望的角度，找出三种抽奖方案的最佳方案．
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名校
9 . 大气污染物
的浓度超过一定的限度会影响人的健康，为了研究的浓度是否受到汽车流量的影响，某校数学建模社团选择了某市8个监测点，统计每个监测点
内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的的平均浓度(单位：
)，得到的数据如下表所示：
并计算得：
．
(1)求变量y关于
的线性回归方程；
(2)根据内浓度确定空气质量的等级标准，则浓度在
为优良．建模社团计划从8个监测点中随机抽3个监测点再做一次数据统计，记抽到空气质量优良的监测点个数为，求的分布列与期望．
参考公式：线性回归方程为
，其中以
．
的浓度超过一定的限度会影响人的健康，为了研究的浓度是否受到汽车流量的影响，某校数学建模社团选择了某市8个监测点，统计每个监测点内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的的平均浓度(单位：)，得到的数据如下表所示：| 监测点编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
 千辆) | 1.300 | 1.444 | 0.786 | 1.652 | 1.756 | 1.754 | 1.200 | 0.908 |
 | 66 | 76 | 21 | 170 | 156 | 120 | 72 | 129 |
．(1)求变量y关于
的线性回归方程；(2)根据
内浓度确定空气质量的等级标准，则浓度在为优良．建模社团计划从8个监测点中随机抽3个监测点再做一次数据统计，记抽到空气质量优良的监测点个数为，求的分布列与期望．参考公式：线性回归方程为
，其中以．
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2024-04-26更新
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430次组卷
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2卷引用：云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期4月教学测评期中数学试卷
名校
10 . 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下
列联表：
(1)试根据小概率值
的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？
(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望．
附：
，其中．
列联表：喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
男生 | 120 | 80 | 200 |
女生 | 100 | 100 | 200 |
合计 | 220 | 180 | 400 |
的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；
(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望．
附：
，其中．
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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2024-04-19更新
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1060次组卷
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5卷引用：云南省开远市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
云南省开远市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题山东省淄博第六中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）专题4.2列联表及独立性检验（四个重难点突破）-2023-2024学年高二数学下学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）山西省晋城市2024届高三第二次模拟考试数学试题山西省运城市2024届高三第二次模拟调研测试数学试题（A）
