1 . 以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形．如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且，Q在极轴上，C为的中点．以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系．

(1)求所在圆P的直角坐标方程与直线CQ的极坐标方程；
(2)过O引一条射线，分别交圆P，直线CQ于A，B两点，证明：为定值．

2 . 如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的心型曲线的极坐标方程为为曲线上一动点，曲线的参数方程为为参数，.

(1)若与交于三点，证明：为定值；
(2)射线逆时针旋转后与交于点，求的最大值.

3 . 如图所示，已知半圆O的直径为，l为位于半圆之外，而又垂直于延长线的一直线，其垂足为T，且，又M，N是半圆上的不同的两点，，，且.求证：.

4 . 在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为，M为该曲线上的任意一点．

（1）当时，求M点的极坐标：当M的极角为时，求它的极径；
（2）若过极点的直线与该曲线相交于两点A，B，求证：弦长为定值，并求出这个定值．

5 . 在平面直角坐标系中，P为曲线（为参数）上的动点，将P点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得Q点.记Q点轨迹为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求证：曲线的极坐标方程为；
（2）是曲线上两点，且，求的取值范围.

6 . 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．
（1）点P为上任意一点，若的中点Q的轨迹为曲线，求的极坐标方程；
（2）若点M，N分别是曲线和上的点，且，证明：为定值．

7 . 直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）曲线与直线：交于，两点，求；
（2）曲线的参数方程为(，为参数)，当时，若与有两个交点，极坐标分别为，，求的取值范围，并证明.

8 . 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：经过伸缩变换后所得曲线记为.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）已知A，B是曲线上任意两点，且，求证：O到直线AB的距离为常数.

9 . 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数且）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
（2）若点在直线上，点在曲线上，求证：．

10 . 在直角坐标系中，以点为圆心，以1为半径作圆.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程.
（Ⅱ）证明：直线l：（）与圆C相交.设相交的弦长为d，求.