1 . 某公司印制了一批文化衫，每件文化衫可有红、黄、蓝三种不同的颜色和四种不同的图案.现将这批文化衫分发给
名新员工，每名员工恰好分到图案不同的4件.试求的最小值，使得总存在两个人，他们所分到的某两种图案的4件文化衫的颜色全部相同.
名新员工，每名员工恰好分到图案不同的4件.试求的最小值，使得总存在两个人，他们所分到的某两种图案的4件文化衫的颜色全部相同.
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2 . 试证：对任何正整数，存在唯一的正奇数对
，使得
，存在唯一的正奇数对，使得
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3 . 求出所有正整数，使
，使
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4 . 设
是双曲线
上一动点，自向椭圆
引两切线
，切点分别为
.若椭圆的左焦点为
，求
的最小值.
是双曲线上一动点，自向椭圆引两切线，切点分别为.若椭圆的左焦点为，求的最小值.
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5 . 给定非负数列
，对于从1 到 n 的任一整数k ，用
表示值
.证明：对于任何
，使得
的 k的个数小于
.
，对于从1 到 n 的任一整数k ，用表示值.证明：对于任何，使得的 k的个数小于.
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6 . 对哪些正整数n，存在正整数 m 及正整数
，使得
？其中可以相同，且
.
，使得？其中可以相同，且.
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7 . 数列
满足：
.
（1）是否存在常数λ、μ，使得数列
是等比数列?若存在，求λ、μ的值；若不存在，说明理由 .
（2）设
.证明：当n≥2时，
.
满足：.（1）是否存在常数λ、μ，使得数列
是等比数列?若存在，求λ、μ的值；若不存在，说明理由 .（2）设
.证明：当n≥2时，.
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8 . 若一个三角形的边长与面积都是整数，则称为“海伦三角形”；三边长互质的海伦三角形，称为“本原海伦三角形”；边长都不是3的倍数的本原海伦三角形，称为“奇异三角形”.
（1）求奇异三角形的最小边长的最小值；
（2）求证：等腰的奇异三角形有无数个；
（3）问：非等腰的奇异三角形有多少个？
（1）求奇异三角形的最小边长的最小值；
（2）求证：等腰的奇异三角形有无数个；
（3）问：非等腰的奇异三角形有多少个？
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9 . 如果一个多项式的系数都是自然数，则称为“自然多项式”.对正整数，用
表示满足
的不同自然多项式
的个数.证明：
.
，用表示满足的不同自然多项式的个数.证明：.
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