1 . 数列
满足： 
， 
.求证：对一切
，均有
.其中
表示不大于实数
的最大整数，
是斐波那契数列： 
.
满足： ， .求证：对一切，均有.其中表示不大于实数 的最大整数，是斐波那契数列： .
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2 . 圆周上分布着2002 个点，现将它们任意地染成白色或黑色，如果从某一点开始，依任一方向绕圆周运动到任一点，所经过的（包括该点本身）白点总数恒大于黑点总数，则称该点为好点.为确保圆周上至少有一个好点，试求所染黑点数目的最大值.
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3 . 设
，其中
和
都是实数，且
.证明：若
，则对一切正整数
，均有
.
，其中和都是实数，且.证明：若，则对一切正整数，均有.
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4 . 求满足
的最小正整数.
的最小正整数.
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5 . 将边长为正整数m、n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值.
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6 . 设
是n个不同质数，用这些质数作为项（允许重复），任意组成一个数列，使这个数列不存在某些相邻项的积是完全平方．证明：这种数列的项数有最大值（记为
），并求的表达式.
是n个不同质数，用这些质数作为项（允许重复），任意组成一个数列，使这个数列不存在某些相邻项的积是完全平方．证明：这种数列的项数有最大值（记为），并求的表达式.
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7 . 已知数列
、
满足
(1)证明:对一切的,有
.
(2)求数列的通项公式.
、满足 (1)证明:对一切的
,有.(2)求数列
的通项公式.
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8 . 设
均为大于1的整数.证明：存在
个不被整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被整除.
均为大于1的整数.证明：存在个不被整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被整除.
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9 . 设递增数列满足
（
）．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：
．
满足（）．（1）求数列
的通项公式；（2）证明：
．
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