1 . 试证：对任何正整数
，存在唯一的正奇数对
，使得
，存在唯一的正奇数对，使得
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2 . 证明:存在无穷多个棱长为正整数的长方体,其体积恰等于对角线长的平方,且该长方体的每一个表面总可以割并成两个整边正方形.
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3 . 正整数数列
满足：
，
．试求通项公式
．
满足：，．试求通项公式．
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4 . 设
是定义在自然数集合
上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数
,有
.
(1)求
;
(2)假设
是100个两两不相等的自然数,求
;
(3)是否存在符合题设条件的函数,使
,证明你的结论.
是定义在自然数集合上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数,有. (1)求
;(2)假设
是100个两两不相等的自然数,求;(3)是否存在符合题设条件的函数
,使,证明你的结论.
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5 . 已知
个实系数二次函数
的判别式
都相等.若对任意的
，方程
均有两个不等的实根，求证：方程
也有两个不等的实根.
个实系数二次函数的判别式都相等.若对任意的，方程均有两个不等的实根，求证：方程也有两个不等的实根.
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6 . 给定正整数
，对于正整数
，集合
.集族
满足如下条件：
（1）的每个集合都是
的元子集；
（2）中的任意两个集合至多有一个公共元素；
（3）的任意一个元素恰出现在中的两个集合中.
试求的最大值.
，对于正整数，集合.集族满足如下条件：（1）
的每个集合都是的元子集；（2）
中的任意两个集合至多有一个公共元素；（3）
的任意一个元素恰出现在中的两个集合中.试求
的最大值.
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7 . 求满足下列条件的最小正整数t，对于任何凸n边形
，只要
，就一定存在三点
，使
的面积不大于凸n边形面积的
.
，只要，就一定存在三点，使的面积不大于凸n边形面积的.
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8 . 奥运会排球预选赛有支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负．如果其中有
支球队
满足：
胜
，胜
，
胜
，胜，则称这
支球队组成一个“阶连环套”．证明：若全部支球队组成一个 阶连环套，则对于每个及每支球队
，
必与另外某些球队组成一个阶连环套．
支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负．如果其中有支球队满足：胜，胜，胜，胜，则称这支球队组成一个“阶连环套”．证明：若全部支球队组成一个 阶连环套，则对于每个及每支球队，必与另外某些球队组成一个阶连环套．
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9 . 求证:存在唯一的正整数数列
，使得
，
.
，使得，.
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10 . 设是给定的正整数，
.记
，
.证明：存在正整数，使得
为一个整数，其中，
表示不小于实数
的最小整数（如
，
）.
是给定的正整数，.记，.证明：存在正整数，使得为一个整数，其中，表示不小于实数的最小整数（如，）.
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