1 . 在三棱锥中，平面平面，，，为的中点，为的中点，在棱上．

(1)当为的中点时，证明：平面．
(2)求证：平面．
(3)是否存在点使得平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

2 . 已知椭圆，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．

3 . 如图，在正方体中，分别是棱，，，的中点.
   
(1)求证：四点共面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.

4 . 如图，在五面体中，平面为正方形，平面平面，.
   
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求证：平面；
(2)若，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小.
条件①：；
条件②：.

5 . 已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥.
   
(1)求证：平面平面；
(2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.

6 . 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点B到平面的距离．

7 . 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得1分．学生甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为，且每次答题结果互不影响．
(1)求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率；
(2)设学生甲第次答题所得分数的数学期望为．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）；
（ⅲ）若，求的最小值．

8 . 已知函数，.
(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值；
(2)当且时，证明：为函数的极小值点；

9 . 已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程
(2)若，求证：当时，；
(3)若的极小值为，求a的值.

10 . 已知函数，
(1)若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
(2)求的零点个数；
(3)若，求证：对于任意，恒有．